VTMO 2014 — Lớp 8 — Chung kết

$a + b + c = 0 , x + y + z = 0 , \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 0$. Tính $A = a^{2} x + b^{2} y + c^{2} z$.

$A = \left(a + b\right) \left(a + 2 b\right) \left(a + 2015 b\right) \left(a + 2016 b\right) + 1007^{2} b^{4}$. Chứng minh $A$ chính phương với mọi $a , b$ nguyên.

Tìm mọi $a$ nguyên để $\frac{a^{3} + 6}{a^{2} + 3}$ nguyên.

Hình thang $ABCD , AB \parallel CD , AB \lt CD$; $DA , CB$ kéo dài gặp $I$. $E \in CD , IE \cap AB = F$. $P$ trên tia đối $BD$; $PF \cap AD = M , PE \cap BC = N$. Chứng minh $MN \parallel AB$.

$ABCD$ vuông, $E \in BC , BE = \frac{BC}{4}$. Phân giác $DEB$ cắt $AB$ tại $F$. Chứng minh $DF$ phân giác $ADE$.

$N$ người khảo sát. $9 \frac{N}{14}$ coi màu hoa quan trọng, $7 \frac{N}{12}$ coi hương quan trọng, $753$ người coi cả hai quan trọng. Tìm $N$ nhỏ nhất.