VTMO 2019 — Lớp 7 — Chung kết

Sáu số nguyên dương đôi một khác nhau có $a + b + c = d + e + f = x$. Tìm $x$ nhỏ nhất.

$a ) \frac{bz - cy}{a} = \frac{cx - az}{b} = \frac{ay - bx}{c}$, với $a , b , c$ thực khác $0$. Chứng minh $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$. $b$)Số $6$ chữ số abcdef chia $7$, chứng minh efabcd chia $7$.

Tom cách Jerry $100 m$, dự tính bắt sau $20 s$. Khi cách $15 m$, Jerry tăng tốc gấp $3$. Tom giữ tốc độ, bắt chậm $2 s$. Tốc độ Tom ban đầu?

$ABC$ có $B = 40 ^{\circ} , C = 20 ^{\circ} , AD$ phân giác $A , D \in BC$. Chứng minh $AD = BC - AC$.

$a ) AB = CD$, hai đoạn cắt tại $K , AC \parallel BD$. Chứng minh $KA = KC$. $b ) ABC$ cân $A , BD$ phân giác $B , D \in AC , AH$ đường cao và $AH = \frac{BD}{2}$. Tính $\angle BAC$.

Thay từng số $1 , \ldots , 2019$ bằng tổng chữ số, lặp cho đến khi tất cả một chữ số. Tổng cuối bằng bao nhiêu?