AMC 10B năm 2019

Alicia có hai thùng chứa. Cái đầu tiên là $\frac{5}{6}$ chứa đầy nước và cái thứ hai trống rỗng. Cô đổ hết nước từ thùng thứ nhất sang thùng thứ hai, lúc này thùng thứ hai $\frac{3}{4}$ đầy nước. Tỷ lệ của thể tích của hộp đựng nhỏ hơn so với thể tích của hộp đựng lớn hơn là bao nhiêu?

Hãy xem xét câu lệnh: “Nếu $n$ không phải là số nguyên tố thì $n-2$ là số nguyên tố”. Giá trị nào sau đây của $n$ là phản ví dụ cho tuyên bố này?

Ở một trường trung học có $500$ học sinh, $40\%$ học sinh cuối cấp chơi một nhạc cụ, trong khi $30\%$ học sinh không phải học sinh cuối cấp không chơi một nhạc cụ. Tổng cộng, $46.8\%$ học sinh không chơi một nhạc cụ nào. Có bao nhiêu người không phải người cao tuổi chơi một nhạc cụ?

Tất cả các dòng có phương trình $ax+by=c$ sao cho $a,$ $b,$ $c$ tạo thành một cấp số cộng đi qua một điểm chung. Tọa độ của điểm đó là gì?

Tam giác $ABC$ nằm trong góc phần tư thứ nhất. Điểm $A,$ $B,$ và $C$ được phản ánh tương ứng trên dòng $y=x$ đến các điểm $A',$ $B',$ và $C',$ tương ứng. Giả sử rằng không có đỉnh nào của tam giác nằm trên đường thẳng $y=x.$ Câu nào sau đây *không* luôn đúng?

Một số nguyên dương $n$ thỏa mãn phương trình $$
(n+1)! + (n+2)! = n! \cdot 440.
$$ Tổng các chữ số của $n?$ là bao nhiêu

Mỗi viên kẹo trong cửa hàng có giá bằng số xu. Casper có đủ tiền để mua $12$ miếng kẹo đỏ, $14$ miếng kẹo xanh, $15$ miếng kẹo xanh hoặc $n$ miếng kẹo tím. Một miếng kẹo màu tím có giá $20$ xu. Giá trị nhỏ nhất có thể có của $n?$ là bao nhiêu

Hình bên dưới thể hiện một hình vuông và bốn hình tam giác đều, trong đó mỗi hình tam giác có một cạnh nằm trên một cạnh của hình vuông, sao cho mỗi hình tam giác có độ dài cạnh $2$ và các đỉnh thứ ba của các hình tam giác gặp nhau ở tâm hình vuông. Vùng bên trong hình vuông nhưng bên ngoài hình tam giác được tô bóng. diện tích của vùng được tô bóng là gì?

Hàm $f$ được xác định bởi $$
f(x) = \lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor|
$$ cho tất cả các số thực $x,$ trong đó $\lfloor r \rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng số thực $r.$ Phạm vi của $f?$ là bao nhiêu

Trong một mặt phẳng nhất định, các điểm $A$ và $B$ cách nhau $10$ đơn vị. Có bao nhiêu điểm $C$ trong mặt phẳng sao cho chu vi của $\triangle ABC$ là $50$ đơn vị và diện tích của $\triangle ABC$ là $100$ đơn vị vuông?

Hai lọ, mỗi lọ chứa cùng một số viên bi và mỗi viên bi đều có màu xanh lam hoặc xanh lục. Trong Lọ $1$ tỷ lệ số viên bi màu xanh lam và màu xanh lá cây là $9:1,$ và tỷ lệ số viên bi màu xanh lam và màu xanh lá cây trong Lọ $2$ là $8:1.$ Có tất cả $95$ viên bi màu xanh lá cây. Có bao nhiêu viên bi xanh trong lọ $1$ nhiều hơn trong lọ $2?$

Tổng lớn nhất có thể có của các chữ số trong biểu diễn cơ số bảy của một số nguyên dương nhỏ hơn $2019?$ là bao nhiêu?

Tổng của tất cả các số thực $x$ mà trung vị của các số $4,$ $6,$ $8,$ $17,$ và $x$ bằng trung bình cộng của năm số đó là bao nhiêu?

Biểu diễn cơ số mười của $19!$ là $121,$ $6T5,$ $100,$ $40M,$ $832,$ $H00,$ trong đó $T,$ $M,$ và $H$ biểu thị các chữ số không được đưa ra. $T+M+H?$ là gì

Các tam giác vuông $T_1$ và $T_2$ có diện tích lần lượt là $1$ và $2$. Một cạnh của $T_1$ là bằng nhau về một cạnh của $T_2,$ và một cạnh khác của $T_1$ là bằng nhau về một cạnh khác của $T_2.$ Bình phương của tích độ dài của các cạnh (thứ ba) khác của $T_1$ là bao nhiêu $T_2?$

Trong $\triangle ABC$ vuông góc tại $C,$ điểm $D$ nằm trong $\overline{AB}$ và điểm $E$ nằm trong $\overline{BC}$ sao cho $AC=CD,$ $DE=EB,$ và tỉ số $AC:DE=4:3.$ Tỷ lệ $AD:DB?$ là bao nhiêu

Một quả bóng màu đỏ và một quả bóng màu xanh lá cây được ném ngẫu nhiên và độc lập vào các thùng được đánh số bằng các số nguyên dương sao cho với mỗi quả bóng, xác suất được ném vào thùng $k$ là $2^{-k}$ cho $k = 1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ Cái gì xác suất quả bóng đỏ được ném vào thùng có số cao hơn quả bóng xanh có phải không?

Henry quyết định vào một buổi sáng để tập thể dục và anh ấy đi bộ $\tfrac{3}{4}$ từ nhà đến phòng tập thể dục. Phòng tập cách nhà Henry $2$ km. Vào thời điểm đó, anh ấy thay đổi ý định và đi bộ $\tfrac{3}{4}$ từ nơi anh ấy trở về nhà. Khi đạt đến điểm đó, anh ấy lại thay đổi ý định và đi bộ $\tfrac{3}{4}$ quãng đường từ đó trở lại phòng tập thể dục. Nếu Henry tiếp tục thay đổi ý định khi anh ấy đã đi bộ $\tfrac{3}{4}$ quãng đường về phía phòng tập thể dục hoặc về nhà tính từ điểm mà anh ấy thay đổi ý định lần cuối, thì anh ấy sẽ tiến rất gần đến việc đi bộ qua lại giữa một điểm $A$ km từ nhà và một điểm $B$ km từ nhà. $|A-B|?$ là gì

Đặt $S$ là tập hợp tất cả các ước số nguyên dương của $100{,}000.$ Có bao nhiêu số là tích của hai phần tử phân biệt của $S?$

Như minh họa trong hình, đoạn thẳng $\overline{AD}$ được chia thành ba điểm $B$ và $C$ sao cho $AB=BC=CD=2.$ Ba hình bán nguyệt có bán kính $1,$ $\widehat{AEB},$ $\widehat{BFC},$ và $\widehat{CGD},$ có đường kính trên $\overline{AD}$, nằm trong cùng một nửa mặt phẳng được xác định bởi đường thẳng $AD$ và tiếp tuyến với đường thẳng $EG$ tại $E,$ $F,$ và $G,$ tương ứng. Một đường tròn bán kính $2$ có tâm tại $F.$ diện tích của vùng bên trong đường tròn nhưng nằm ngoài ba hình bán nguyệt, được tô bóng trong hình, có thể được biểu thị dưới dạng $$
\frac{a}{b}\cdot\pi-\sqrt{c}+d,
$$ trong đó $a,$ $b,$ $c,$ và $d$ là các số nguyên dương và $a$ và $b$ là các số nguyên tố tương đối. $a+b+c+d?$ là gì