Chứng minh rằng tập $\{1,2,\ldots,1989\}$ có thể được biểu diễn thành hợp rời nhau của 17 tập con $A_1,A_2,\ldots,A_{17}$ sao cho:
(i) mỗi $A_i$ chứa cùng một số phần tử;
(ii) tổng tất cả các phần tử của mỗi $A_i$ là như nhau với $i=1,2,\ldots,17$.
Cho $ABC$ là một tam giác. Đường phân giác góc $A$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $A_1$. Các điểm $B_1$ và $C_1$ được định nghĩa tương tự. Gọi $AA_1$ cắt các đường phân giác của hai góc ngoài tại $B$ và $C$ ở điểm $A^0$. Định nghĩa $B^0$ và $C^0$ tương tự. Nếu $S_{X_1X_2\ldots X_n}$ là diện tích đa giác $X_1X_2\ldots X_n$, chứng minh rằng
$$S_{A^0B^0C^0}=2S_{AC_1BA_1CB_1}\ge4S_{ABC}.$$
Cho một tập $S$ trong mặt phẳng gồm $n$ điểm và thỏa mãn các điều kiện
(i) không có ba điểm nào của $S$ thẳng hàng,
(ii) với mỗi điểm $P$ của $S$, có ít nhất $k$ điểm trong $S$ có cùng khoảng cách đến $P$,
chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng:
$$k\lt \frac12+\sqrt{2n}.$$
Tứ giác $ABCD$ có các tính chất sau:
(i) $AB=AD+BC$;
(ii) có một điểm $P$ ở bên trong, với khoảng cách $x$ đến cạnh $CD$, sao cho $AP=x+AD$ và $BP=x+BC$.
Chứng minh rằng
$$\frac1{\sqrt x}\ge\frac1{\sqrt{AD}}+\frac1{\sqrt{BC}}.$$
Với những số nguyên dương $n$ nào tồn tại một số nguyên dương $N$ sao cho không số nào trong các số nguyên $1+N,2+N,\ldots,n+N$ là lũy thừa của một số nguyên tố?
Ta xét các hoán vị $(x_1,\ldots,x_{2n})$ của tập $\{1,\ldots,2n\}$ sao cho $|x_i-x_{i+1}|=n$ với ít nhất một $i\in\{1,\ldots,2n-1\}$. Với mỗi số tự nhiên $n$, hãy xác định số hoán vị có tính chất này nhiều hơn hay ít hơn số hoán vị còn lại của $\{1,\ldots,2n\}$.