$ABCD$ là hình bình hành; $AB=a$, $AD=1$, $\alpha$ là số đo $\angle DAB$, và ba góc của tam giác $ABD$ đều nhọn. Chứng minh bốn hình tròn $K_A,K_B,K_C,K_D$, mỗi hình có bán kính $1$ và có tâm lần lượt là các đỉnh $A,B,C,D$, phủ hình bình hành khi và chỉ khi $a\leq\cos\alpha+\sqrt3\sin\alpha$.
Cho $k,m,n$ là các số nguyên dương sao cho $m+k+1$ là số nguyên tố lớn hơn $n+1$. Dùng $c_s$ để ký hiệu $s(s+1)$. Chứng minh tích $(c_{m+1}-c_k)(c_{m+2}-c_k)\cdots(c_{m+n}-c_k)$ chia hết cho tích $c_1c_2\cdots c_n$.
Hai tam giác $A_0B_0C_0$ và $A'B'C'$ đều có các góc nhọn. Hãy mô tả cách dựng một tam giác $ABC$ đồng dạng với $A'B'C'$ và ngoại tiếp $A_0B_0C_0$ (sao cho $A,B,C$ tương ứng với $A',B',C'$, và $AB$ đi qua $C_0$, $BC$ đi qua $A_0$, $CA$ đi qua $B_0$). Trong các tam giác $ABC$ ấy, hãy mô tả và chứng minh cách dựng tam giác có diện tích lớn nhất.
Xét dãy $(c_n)$:
$$\begin{aligned}c_1&=a_1+a_2+\cdots+a_8,\\c_2&=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_8^2,\\&\cdots\\c_n&=a_1^n+a_2^n+\cdots+a_8^n,\\&\cdots\end{aligned}$$
trong đó $a_1,a_2,\ldots,a_8$ là các số thực không đồng thời bằng không. Biết trong dãy $(c_n)$ có vô số số hạng bằng không, hãy xác định mọi giá trị $n$ sao cho $c_n=0$.
Trong một cuộc thi thể thao kéo dài $n$ ngày, có $m$ huy chương để trao. Ngày thứ nhất trao một huy chương và $1/7$ số $m-1$ huy chương còn lại. Ngày thứ hai trao $2$ huy chương và $1/7$ số còn lại. Cứ tiếp tục như vậy. Ngày thứ $n$ trao đúng $n$ huy chương. Cuộc thi kéo dài bao nhiêu ngày và có tổng cộng bao nhiêu huy chương?