IMAS 2021–2022 Junior — Vòng 1

Phương trình $n=456-3T$ mô tả mối liên hệ giữa số cốc sô-cô-la nóng $n$ bán mỗi ngày tại một quán cà phê và nhiệt độ trung bình ngày $T$, tính theo độ C. Theo mô hình này, số “3” trong phương trình có ý nghĩa gì?

Tổng của tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn bất đẳng thức $\frac7{18}<\frac n5<\frac{20}7$ bằng bao nhiêu?

Trong bảng đã cho, một con kiến xuất phát từ ô “Start” (Bắt đầu). Mỗi bước, nó có thể đi sang phải hoặc xuống dưới tới ô kề chung cạnh, cho đến ô “End” (Kết thúc). Mỗi lần di chuyển, nó nhận số ghi trong ô đến. Tổng nhỏ nhất con kiến có thể nhận là bao nhiêu?

Một bộ gồm 13 số nguyên dương có trung bình cộng bằng 8 và trung vị bằng 9. Số nguyên lớn nhất có thể xuất hiện trong bộ này là bao nhiêu? (Chú ý: Trung bình cộng bằng tổng các số chia cho số lượng các số. Trung vị là số “ở giữa” khi tất cả các số được xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.)

Trong hình dưới đây, $ABCD$ là hình vuông và $P$ là một điểm bên trong. Biết $PA=1$ cm, $PB=2$ cm và $PC=3$ cm. Độ dài $PD$, tính bằng cm, là bao nhiêu?

Cho $\overline{ab}$ là số có hai chữ số. Đổi chỗ hai chữ số để được một số khác có hai chữ số, nhân số đó với 5 rồi lấy số dư khi chia kết quả cho 9. Nếu số dư là 5 thì có bao nhiêu số $\overline{ab}$ khác nhau?

Có thể chọn nhiều nhất bao nhiêu số từ tập $\{1,2,\ldots,10\}$ sao cho hiệu dương của hai số được chọn bất kỳ không bằng 4, 5 hoặc 9?

Như hình dưới đây, dùng các ngũ giác bằng ngũ giác $ABCDE$ để lát kín mặt phẳng. Số đo góc $\angle ABC$, tính theo độ, là bao nhiêu?

Thế giới của các con bọ là một mặt phẳng chia thành các ô vuông đơn vị. Ban đầu, tất cả bọ ở các ô phía nam một bức tường bên trong và mỗi ô có nhiều nhất một con. Trong mỗi nước đi, một con bọ nhảy qua con bọ ở ô kề và đáp xuống ô ngay sau đó. Con bị nhảy qua được loại bỏ. Không được thực hiện nước đi nếu ô đáp đã có bọ. Bọ có thể nhảy về phía bắc, đông hoặc tây. Cần ít nhất bao nhiêu con bọ để một con đến được ô tô màu trong hình? Chữ N chỉ hướng bắc.

Trong hình dưới đây, $ABCD$ là hình vuông cạnh 12 cm. Điểm $P$ trên cạnh $AB$ thỏa mãn $AP:PB=1:3$, điểm $L$ trên cạnh $CD$ thỏa mãn $CL=DL$ và điểm $N$ trên cạnh $DA$ thỏa mãn $DN:NA=2:1$. Diện tích tam giác $PNL$, tính bằng cm², là bao nhiêu?

Tổng của tất cả các số nguyên dương $a$ sao cho với mọi số nguyên dương $n>100$, $\frac{n(n+2)(n+4)}a$ là số nguyên bằng bao nhiêu?

Khoảng cách Frankfurt–New York là 6750 km và hai thành phố chênh lệch múi giờ 6 giờ. Khi New York là 08:00 thì Frankfurt đã là 14:00. Lúc 15:00 giờ Frankfurt, một Airbus 320 có tốc độ hành trình 700 km/h cất cánh từ Frankfurt đi New York. Lúc 10:00 giờ New York, một Boeing 787 có tốc độ hành trình 800 km/h cất cánh từ New York đi Frankfurt. Đường bay qua Đại Tây Dương có gió không đổi thổi từ New York đến Frankfurt với tốc độ 100 km/h. Airbus 320 không thể bay quá 5 giờ mà không tiếp nhiên liệu, còn Boeing 787 có thể bay hơn 12 giờ không cần tiếp nhiên liệu. Airbus 320 cần tiếp nhiên liệu tại một sân bay nhỏ cách Frankfurt 2400 km. Việc tiếp nhiên liệu và cất cánh mất tổng cộng 1 giờ. Giả sử hai máy bay bay cùng một đường, khi chúng gặp nhau thì ở New York là mấy giờ?

Số dư khi chia $1^2+2^2+3^2+\ldots+2020^2+2021^2$ cho 4 là bao nhiêu?

Nếu $a=\sqrt[3]4+\sqrt[3]2+\sqrt[3]1$ thì giá trị của $\frac3a+\frac3{a^2}+\frac1{a^3}$ bằng bao nhiêu?

Cho $a$ là số nguyên dương. Viết lên bảng hiệu dương của từng cặp chữ số trong biểu diễn thập phân của $a$. Nếu xóa đi một số số và chỉ còn lại các số 2, 0, 2 và 2 thì giá trị nhỏ nhất có thể của $a$ là bao nhiêu?

Ba số nguyên $x$, $y$, $z$ thỏa mãn $x\le y\le z\le8$, $x+y+z=12$ và $xy+yz+zx=27$. Giá trị của $xyz$ bằng bao nhiêu?

Charlie và Danny mua nước ép táo và cà rốt trong siêu thị. Charlie mua nước táo nhãn A giá 5 đô-la/chai và nước cà rốt nhãn B giá 1,5 đô-la/chai, hết tổng cộng 139,5 đô-la. Danny mua nước táo nhãn C giá 4,5 đô-la/chai và nước cà rốt nhãn D giá 2 đô-la/chai, hết tổng cộng 167 đô-la. Biết tổng số chai nước ép mỗi người mua bằng nhau, Charlie đã mua bao nhiêu chai nước táo nhãn A?

Annie rửa được 3 chiếc đĩa mỗi phút, còn Betty rửa được 2 chiếc đĩa mỗi phút. Annie rửa được 9 chiếc cốc mỗi phút, còn Betty rửa được 7 chiếc cốc mỗi phút. Có tổng cộng 134 chiếc đĩa và cốc bẩn. Hai người cùng rửa hết số đĩa và cốc này trong đúng 20 phút. Có bao nhiêu chiếc đĩa bẩn?

Có mười quân, gồm 3 quân đen và 7 quân trắng, được đặt ngẫu nhiên vào các ô đơn vị của bảng $2\times5$, mỗi ô chứa đúng một quân. Có bao nhiêu cách đặt để không có hai quân đen nào kề nhau?

Bốn đường tròn dưới đây có một số điểm trên chu vi. Nối mọi cặp điểm trên cùng đường tròn bằng đoạn thẳng và đếm số miền mà các đoạn thẳng chia hình tròn thành.



Chú thích: 2 điểm, 2 miền; 3 điểm, 4 miền; 4 điểm, 8 miền; 5 điểm, 16 miền.
Nếu có 6 điểm trên một đường tròn thì hình tròn được chia thành nhiều nhất bao nhiêu miền?