Câu hỏi 1
Trong tất cả các biểu thức sau, có bao nhiêu biểu thức là số âm? $(1000-1)^1$, $(1000-2)^2$, $\ldots$, $(1000-n)^n$, $\ldots$, $(1000-2018)^{2018}$.
IMAS 2017–2018 Junior Vòng 2
Câu hỏi 2
Trong tứ giác lồi $ABCD$, các đường phân giác của $\angle DAB$ và $\angle ABC$ cắt nhau tại $E$, các đường phân giác của $\angle BCD$ và $\angle CDA$ cắt nhau tại $F$, như hình dưới. Nếu $\angle AEB=80^\circ$, số đo theo độ của $\angle DFC$ là bao nhiêu?
Câu hỏi 3
Hai số $m$ và $n$, có thể bằng nhau, được lấy từ tập hợp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9. Số nào dưới đây không thể là giá trị của $10(m+n)-mn$?
Câu hỏi 4
Nếu $a$ và $b$ là các số thực, biểu thức nào sau đây luôn không âm?
Câu hỏi 5
Tích của tổng và trung bình cộng của $n$ số nguyên bằng 2018. Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu hỏi 6
Quay một tam giác đều nội tiếp đường tròn 40 độ theo chiều kim đồng hồ và ngược chiều kim đồng hồ, như hình dưới. Trong hình có bao nhiêu tam giác?
Câu hỏi 7
Xét số có bốn chữ số $\overline{abcd}$, trong đó $a$ và $d$ đều khác 0. Nếu hai chữ số cuối của tổng $\overline{abcd}$ và $\overline{dcba}$ là 58, giá trị lớn nhất có thể của $\overline{abcd}$ là bao nhiêu?
Câu hỏi 8
Một hình chữ nhật được chia thành 12 ô vuông đơn vị, gồm 10 ô trắng và 2 ô đen như hình dưới. Để tạo thành một hình có tâm đối xứng bằng cách thêm các ô trắng nhưng không thêm ô đen, cần thêm ít nhất bao nhiêu ô trắng?
Câu hỏi 9
Một số có ba chữ số được gọi là “may mắn” nếu nó chia hết cho 6 và khi đổi chỗ hai chữ số cuối thì thu được một số chia hết cho 6. Có bao nhiêu số “may mắn”?
Câu hỏi 10
Tìm giá trị của $x$ sao cho cả $x$ và $\sqrt{2017-99\sqrt{x}}$ đều là số nguyên.
Câu hỏi 11
Trong hình dưới, các tứ giác $ABCD$ và $ABCE$ đều là hình thang cân, với $AB\parallel CE$ và $BC\parallel AD$. Nếu $AC=DE$, số đo theo độ của $\angle ABC$ bằng bao nhiêu?
Câu hỏi 12
Chia $\sqrt1$, $\sqrt2$, $\sqrt3$, $\ldots$, $\sqrt{100}$ thành các nhóm sao cho tổng mỗi nhóm không vượt quá 10. Tìm số nhóm ít nhất cần có để thực hiện cách chia này.
Câu hỏi 13
Có một dãy gồm năm số nguyên dương. Mỗi số kể từ số thứ hai ít nhất gấp đôi số ngay trước nó. Nếu tổng năm số bằng 2018, giá trị nhỏ nhất có thể của số cuối là bao nhiêu?
Câu hỏi 14
Cho $a$, $b$, $c$ và $d$ là bốn số nguyên dương sao cho $\frac{b}{a}$, $\frac{c}{b}$, $\frac{d}{c}$ là các phân số tối giản và $\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{c}$ là số nguyên. Chứng minh rằng $d\ge a-1$.
Câu hỏi 15
Trong hình dưới, $ABC$ là tam giác vuông cân với $AB=AC$. Gọi $D$ là một điểm bên ngoài sao cho $BD=\sqrt2 AD$. Chứng minh rằng $\angle ADC+\angle BDC=45^\circ$.
