AMC 10B năm 2010

Giá trị của biểu thức sau là gì? $$
100(100-3)-(100 \cdot 100-3)
$$

Makayla đã tham dự hai cuộc họp trong ngày làm việc $9$-giờ của cô ấy. Cuộc họp đầu tiên mất $45$ phút và cuộc họp thứ hai kéo dài gấp đôi. Cô ấy dành bao nhiêu phần trăm thời gian làm việc trong ngày để tham dự các cuộc họp?

Một ngăn kéo chứa tất màu đỏ, xanh lá cây, xanh dương và trắng với ít nhất $2$ của mỗi màu. Số tất tối thiểu phải được lấy ra từ ngăn kéo để đảm bảo có một đôi tất phù hợp là bao nhiêu?

Đối với một số thực $x,$ hãy xác định $\heartsuit(x)$ là trung bình của $x$ và $x^2.$ Giá trị của biểu thức sau là bao nhiêu? $$
\heartsuit(1)+\heartsuit(2)+\heartsuit(3)
$$

Một tháng có $31$ ngày có cùng số Thứ Hai và Thứ Tư. Có bao nhiêu trong bảy ngày trong tuần có thể là ngày đầu tiên của tháng này?

Đường tròn có tâm tại $O,$ $\overline{AB}$ là đường kính và $C$ là một điểm trên đường tròn có $\angle COB = 50^\circ.$ Số đo độ của $\angle CAB?$ là bao nhiêu?

Một tam giác có độ dài các cạnh $10,$ $10,$ và $12.$ Một hình chữ nhật có chiều rộng $4$ và diện tích bằng diện tích của tam giác. chu vi của hình chữ nhật này là gì?

Một vé xem vở kịch ở trường có giá $x$ đô la, trong đó $x$ là một số nguyên. Một nhóm $9$học sinh lớp mua vé có tổng chi phí là $\$48,$ và một nhóm $10$học sinh lớp mua vé có tổng chi phí là $\$64.$ Có thể có bao nhiêu giá trị cho $x$?

Giáo viên của Lucky Larry yêu cầu anh thay số $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ và $e$ trong biểu thức $$
a-(b-(c-(d+e)))
$$ và đánh giá kết quả. Larry bỏ qua dấu ngoặc đơn nhưng cộng và trừ một cách chính xác và thu được kết quả đúng do trùng hợp ngẫu nhiên. Các số Larry thay thế cho $a,$ $b,$ $c,$ và $d$ lần lượt là $1,$ $2,$ $3,$ và $4,$. Larry đã thay thế số nào cho $e?$

Shelby lái chiếc xe tay ga của mình với tốc độ $30$ dặm một giờ nếu trời không mưa và $20$ dặm một giờ nếu trời mưa. Hôm nay cô ấy đã lái xe dưới nắng vào buổi sáng và dưới mưa vào buổi tối, tổng cộng $16$ dặm trong $40$ phút. Cô ấy đã lái xe dưới mưa bao nhiêu phút?

Người mua hàng dự định mua một mặt hàng có giá niêm yết lớn hơn $\$100$ và có thể sử dụng bất kỳ một trong ba phiếu giảm giá. Phiếu giảm giá A giảm giá $15\%$ so với giá niêm yết, Phiếu giảm giá B giảm $\$30$ giá niêm yết và Phiếu giảm giá C giảm $25\%$ số tiền mà giá niêm yết vượt quá $\$100.$

Đặt $x$ và $y$ lần lượt là mức giá nhỏ nhất và lớn nhất mà Phiếu giảm giá A tiết kiệm được ít nhất nhiều đô la như Phiếu giảm giá B hoặc C. $y - x?$ là gì

Vào đầu năm học, $50\%$ trong số tất cả học sinh trong lớp toán của thầy Wells đã trả lời “Có” cho câu hỏi “Bạn có yêu thích môn toán không”, và $50\%$ trả lời “Không”. Vào cuối năm học, $70\%$ trả lời “Có” và $30\%$ trả lời “Không”. Nhìn chung, $x\%$ học sinh đã đưa ra một câu trả lời khác nhau vào đầu và cuối năm học. Sự khác biệt giữa giá trị tối đa và tối thiểu có thể có của $x?$

Tổng của tất cả các nghiệm của phương trình dưới đây là bao nhiêu? $$
x = |2x-|60-2x||
$$

Trung bình cộng của các số $1,$ $2,$ $3,$ $\cdots,$ $98,$ $99,$ và $x$ là $100x.$ $x?$

Trong cuộc thi toán $50$-câu hỏi bội số phương án, học sinh nhận được $4$ điểm cho câu trả lời đúng, $0$ điểm cho câu trả lời để trống và $-1$ điểm cho câu trả lời sai. Tổng số điểm của Jesse trong cuộc thi là $99.$ Số câu hỏi tối đa mà Jesse có thể trả lời đúng là bao nhiêu?

Một hình vuông có cạnh dài $1$ và một hình tròn có bán kính $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ có chung tâm. diện tích bên trong hình tròn nhưng bên ngoài hình vuông là gì?

Mỗi trường trung học ở thành phố Euclid đều cử một nhóm $3$ học sinh tham gia một cuộc thi toán. Mỗi người tham gia cuộc thi nhận được một số điểm khác nhau. Điểm của Andrea là trung vị trong số tất cả học sinh và điểm của cô ấy là điểm cao nhất trong đội của cô ấy. Đồng đội của Andrea là Beth và Carla lần lượt xếp thứ $37$th và $64$th. Có bao nhiêu trường học trong thành phố?

Các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$ được chọn ngẫu nhiên và độc lập bằng cách thay thế từ bộ $\{1, 2, 3,\dots, 2010\}.$

xác suất mà $abc + ab + a$ là chia hết cho $3?$ là gì

Đường tròn tâm $O$ có diện tích $156\pi.$ Tam giác $ABC$ là đều, $\overline{BC}$ là dây cung trên đường tròn, $OA = 4\sqrt{3},$ và điểm $O$ nằm ngoài $\triangle ABC.$ Độ dài cạnh của là bao nhiêu $\triangle ABC?$

Hai đường tròn nằm bên ngoài hình lục giác đều $ABCDEF.$ Đường tròn thứ nhất tiếp xúc với $\overline{AB},$ và đường tròn thứ hai tiếp xúc với $\overline{DE}.$ Cả hai đều tiếp xúc với các đường thẳng $BC$ và $FA.$ Tỉ số của diện tích của đường tròn thứ hai so với đường tròn thứ nhất là bao nhiêu?