TIMO - 2017 - Lớp 9 - Vòng Chung kết quốc gia - Đề 5

Món tráng miệng của Selena bị lấy mất. Cô hỏi 4 khách và nhận được câu trả lời: Hera: “David đã lấy.” David: “Steve đã lấy.” Ruby: “Tôi không lấy.” Steve: “David đang nói dối.” Biết chỉ có một người nói dối. Ai đã lấy món tráng miệng?

Cho $x,y,z$ là số nguyên tố và $x^y+y^x=z$. Tìm $z$.

Chia hình chữ nhật thành $3\times6$ ô vuông nhỏ bằng nhau và tô mỗi ô đỏ hoặc xanh lá. Có bao nhiêu cách tô sao cho không có hình chữ nhật diện tích từ bốn trở lên có bốn góc cùng màu?

Hộp chứa 100 bút màu: 40 xanh dương, 30 đỏ, 20 xanh lá và 10 vàng. Ivy lấy bút mà không nhìn màu. Cần lấy ít nhất bao nhiêu bút để chắc chắn có đủ 4 màu?

Có năm quả cân $A,B,C,D,E$. Tổng khối lượng $A,B$ là 7 pound; $B,C$ là 9 pound; $C,D$ là 11 pound; $D,E$ là 8 pound; $A,C,E$ là 10 pound. Tổng khối lượng năm quả cân là bao nhiêu pound?

Tính $1+\frac1{1+2}+\frac1{1+2+3}+\cdots+\frac1{1+2+3+\cdots+8+9+10}$.

Biết $a^2-a-3=0$. Tính $a^4-a^3-a^2-2a+6$.

Biết $C_r^n=\frac{n!}{r!(n-r)!}$. Tính $C_1^6+2C_2^6+3C_3^6+\cdots+6C_6^6$.

Biết $x>0$ và $x+\frac1x=12$. Tính $x^2+\frac1{x^2}$.

Tính $1-3+9-27+\cdots+729-2187+6561$.

Tìm ước chung lớn nhất của 34417 và 34959.

Tìm nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của $5x\equiv8\pmod{13}$.

Với $x$ là số thực, tìm giá trị lớn nhất của $\frac1{x^2+4x+5}$.

Với $y>0$, tìm giá trị nhỏ nhất của $y+\frac1y$.

Các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $a<b$ và $a+b+ab=104$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a$.

Tam giác có các cạnh dài 3, 5, 7. Tìm số đo góc trong lớn nhất, theo đơn vị độ.

Trong hình, $BD:DC=CE:EA=2:1$, và $AD$ cắt $BE$ tại $P$. Biết diện tích $ABC$ bằng 70 cm². Tính diện tích $CEPD$ theo cm².

Tam giác vuông có các cạnh dài 5, 12, 13 nội tiếp một hình vuông. Tìm giá trị nhỏ nhất của cạnh hình vuông, viết đáp án dưới dạng căn thức.

Tam giác có các cạnh dài 16 cm, 20 cm, 24 cm. Tính diện tích theo cm².

Trong hình, $HD$ tiếp xúc với đường tròn tại $C$, và $AE$ là đường kính. Kéo dài $AE$, $DC$ để chúng gặp nhau tại $H$. Tính $\angle HAC$ nếu $\angle ACD=75^\circ$.