AMC 10B năm 2003

Điều nào sau đây giống với

$$
\dfrac{2-4+6-8+10-12+14}{3-6+9-12+15-18+21}?
$$

Al mắc bệnh viêm đại số và phải uống mỗi ngày một viên xanh và một viên hồng trong hai tuần. Một viên thuốc màu xanh lá cây có giá $\$1$ cao hơn một viên thuốc màu hồng và những viên thuốc của Al có giá tổng cộng $\$546$ trong hai tuần. Một viên thuốc xanh giá bao nhiêu?

Tổng của $5$ số nguyên chẵn liên tiếp là $4$ nhỏ hơn tổng của $8$ số lẻ liên tiếp đầu tiên. Số nhỏ nhất trong các số nguyên chẵn là bao nhiêu?

Rose lấp đầy từng vùng hình chữ nhật trên luống hoa hình chữ nhật của mình bằng một loại hoa khác nhau. Chiều dài tính bằng feet của các vùng hình chữ nhật trên luống hoa của cô ấy như trong hình. Cô trồng một bông hoa trên mỗi mét vuông ở mỗi vùng. Cúc tây có giá $\$1$ mỗi loại, thu hải đường $\$1.50$ mỗi loại, cannas $\$2$ mỗi loại, thược dược $\$2.50$ và hoa loa kèn Phục sinh $\$3$ mỗi loại. Chi phí thấp nhất có thể được, tính bằng đô la, cho khu vườn của cô ấy là bao nhiêu?

Moe sử dụng máy cắt cỏ để cắt bãi cỏ hình chữ nhật $90$-foot bằng $150$-foot. Dải anh cắt rộng $28$ inch, nhưng anh chồng lên mỗi vết cắt $4$ inch để đảm bảo không bỏ sót cỏ. Anh ta đi bộ với tốc độ $5000$ feet mỗi giờ trong khi đẩy máy cắt cỏ. Số giờ nào sau đây gần nhất với số giờ mà Moe phải mất để cắt cỏ?

Nhiều màn hình tivi có dạng hình chữ nhật được đo bằng chiều dài đường chéo của chúng. Tỷ lệ giữa chiều dài ngang và chiều cao của màn hình tivi tiêu chuẩn là $4 : 3.$ Chiều dài ngang của màn hình tivi “$27$-inch” là gần nhất, tính bằng inch, với giá trị nào sau đây?

Ký hiệu $\lfloor x \rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất không vượt quá $x.$ Ví dụ: $\lfloor 3 \rfloor = 3,$ và $\lfloor \frac{9}{2} \rfloor = 4.$ Tính $$
\begin{gathered} \lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor \\ {}+ \cdots + \lfloor \sqrt{16} \rfloor. \end{gathered}
$$

Số hạng thứ hai và thứ tư của cấp số nhân là $2$ và $6.$ Số hạng nào sau đây có thể là số hạng đầu tiên?

Tìm giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình

$$
25^{-2} = \dfrac{5^{\frac{48}{x}}}{5^{\frac{26}{x}} \cdot 25^{\frac{17}{x}}}.
$$

Nebraska, quê hương của AMC, đã thay đổi sơ đồ biển số xe. Mỗi biển số xe cũ bao gồm một chữ cái theo sau là bốn chữ số. Mỗi biển số xe mới gồm ba chữ cái, tiếp theo là ba chữ số. Số lượng biển số xe có thể tăng lên bao nhiêu lần?

Một đường có độ dốc $3$ cắt một đường có độ dốc $5$ tại điểm $(10, 15).$ Khoảng cách giữa giao điểm $x$ của hai đường này là bao nhiêu?

Al, Betty và Clare chia $\$1000$ cho họ để đầu tư theo những cách khác nhau. Mỗi cái bắt đầu với một số tiền khác nhau. Vào cuối một năm, họ có tổng cộng $\$1500.$ Betty và Clare đều tăng gấp đôi số tiền của mình, trong khi Al đã để mất $\$100.$ Phần ban đầu của Al là bao nhiêu?

Đặt $\clubsuit(x)$ biểu thị tổng các chữ số của số nguyên dương $x.$ Ví dụ: $\clubsuit(8)=8$ và $\clubsuit(123)=1+2+3=6.$ Cho có bao nhiêu giá trị hai chữ số của $x$ là $\clubsuit(\clubsuit(x))=3?$

Cho rằng $3^8 \cdot 5^2 = a^b,$ trong đó cả $a$ và $b$ đều là số nguyên dương, hãy tìm giá trị nhỏ nhất có thể có cho $a+b.$

Có $100$ người chơi trong một giải quần vợt đơn. Giải đấu được thi đấu loại trực tiếp, nghĩa là người chơi thua trận sẽ bị loại. Trong vòng đầu tiên, những người chơi $28$ mạnh nhất sẽ được tạm biệt và những người chơi $72$ còn lại sẽ được ghép đôi để thi đấu. Sau mỗi vòng, những người chơi còn lại sẽ thi đấu ở vòng tiếp theo. Trận đấu tiếp tục cho đến khi chỉ còn một người chơi bất bại. Tổng số trận đã đấu là

Một nhà hàng cung cấp ba món tráng miệng và số món khai vị nhiều gấp đôi so với món chính. Bữa tối bao gồm món khai vị, món chính và món tráng miệng. Số món chính ít nhất mà nhà hàng nên cung cấp để khách hàng có thể thưởng thức bữa tối khác nhau mỗi đêm trong năm $2003?$

Một cây kem ốc quế bao gồm một quả cầu kem vani và một hình nón tròn bên phải có cùng đường kính với quả cầu. Nếu kem tan chảy, nó sẽ lấp đầy hình nón. Giả sử rằng kem tan chảy chiếm $75\%$ trong thể tích của kem đông lạnh. Tỉ số giữa chiều cao của hình nón và bán kính của nó là bao nhiêu? (Lưu ý: Một hình nón có bán kính $r$ và chiều cao $h$ có thể tích $\frac{\pi r^2 h}{3},$ và một hình cầu có bán kính $r$ có thể tích $\frac{4\pi r^3}{3}.$)

Số nguyên lớn nhất là ước số của

$$
\begin{aligned} &(n+1)(n+3)(n+5) \\ &\quad {}\cdot (n+7)(n+9) \end{aligned}
$$

cho tất cả các số nguyên dương chẵn $n?$

Ba hình bán nguyệt có bán kính $1$ được dựng trên đường kính $\overline{AB}$ của hình bán nguyệt có bán kính $2.$ Tâm của hình bán nguyệt nhỏ chia $\overline{AB}$ thành bốn đoạn thẳng có độ dài bằng nhau, như được hiển thị. diện tích của vùng được tô bóng nằm trong hình bán nguyệt lớn nhưng nằm ngoài hình bán nguyệt nhỏ hơn là gì?

Trong hình chữ nhật $ABCD,$ $AB=5$ và $BC=3.$ Điểm $F$ và $G$ nằm trên $\overline{CD}$ sao cho $DF=1$ và $GC=2.$ Đường $AF$ và $BG$ cắt nhau tại $E.$ Tìm diện tích của $\triangle AEB.$