MathNet 2006 — Phần 03

Xác định số thực nhỏ nhất $C$ sao cho bất đẳng thức
$$
C(x_1^{2005} + x_2^{2005} + x_3^{2005} + x_4^{2005} + x_5^{2005}) \geq x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 (x_1^{125} + x_2^{125} + x_3^{125} + x_4^{125} + x_5^{125})^{16}
$$
đúng với mọi số thực dương $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$.

Mỗi lần Joãozinho đến rạp chiếu phim, anh ấy đều uống 2 cốc nước ngọt. Anh ấy đã dành toàn bộ số tiền tiêu vặt $R\$ 50,00$ của mình để đến rạp chiếu phim 6 lần và uống tổng cộng 20 loại nước ngọt, bao gồm cả những loại anh ấy đã uống khi đến rạp chiếu phim. Nếu Joãozinho chỉ uống một lon soda mỗi lần đến rạp chiếu phim, thì với số tiền tiết kiệm được này, anh ấy có thể đi xem phim thêm một lần nữa, uống cả lon soda vào dịp đó. Về giá vé xem phim và giá nước giải khát, có thể nói:

A) giá vé gấp ba lần giá nước ngọt.

B) giá vé gấp bốn lần giá nước ngọt.

C) giá vé gấp 5 lần giá nước ngọt.

D) vé $R \$ 6,00$ đắt hơn soda.

E) vé $R \$ 5,00$ đắt hơn soda

Từ năm 1986 đến 1989, tiền tệ của nước ta là Cruzado ($\mathrm{Cz\ \$}$). Kể từ đó, chúng ta đã có Cruzado Nova, Cruzeiro, Cruzeiro Novo và ngày nay chúng ta có Real. Để so sánh giá trị từ thời Cruzado và ngày nay, các nhà kinh tế đã tính toán rằng 1 real tương đương với 2.750.000.000 Cruzado.

Hãy tưởng tượng rằng tiền tệ không thay đổi và João, người hiện kiếm được 640 reais mỗi tháng, phải nhận lương bằng tờ 1-cruz mỗi tờ. Nếu chồng 100 tờ 1 dấu chéo có giá trị $1{,}5\ \mathrm{~cm}$ cao thì lương của João sẽ cao bao nhiêu?


A) $26{,}4\ \mathrm{~km}$

B) $264\ \mathrm{~km}$

C) $26400\ \mathrm{~km}$

D) $264000\ \mathrm{~km}$

E) $2640000\ \mathrm{~km}$

Số lớn nhất có 6 chữ số có thể tìm được bằng cách xóa 9 chữ số khỏi số $778157260669103$ mà không thay đổi thứ tự các chữ số là bao nhiêu?


(A) $778152$

(B) $781569$

(C) $879103$

(D) $986103$

(E) $987776$

1) Hai số lớn nhất là bao nhiêu?

(A) $2 \times 0 \times 2006$

(B) $2 \times 0+6$

(C) $2+0 \times 2006$

(D) $2 \times(0+6)$

(E) $2006 \times 0+0 \times 6$

4 đồng xu có vẻ giống hệt nhau được đưa ra, 3 trong số đó là tiền thật và do đó có cùng trọng lượng; một là sai và do đó có trọng lượng khác nhau. Người ta không biết đồng tiền giả nhẹ hơn hay nặng hơn những đồng tiền khác. Chứng minh rằng có thể xác định được loại tiền tệ khác nhau chỉ bằng hai lần cân trên một chiếc cân đĩa. Lưu ý: Ở loại cân này, chúng ta có thể so sánh các quả nặng đặt trên hai đĩa, tức là cân có thể cân bằng hoặc nghiêng về phía nặng hơn.

Trong một cuộc đua ô tô, người lái xe đã vượt qua ba phần: một phần $240~\mathrm{km}$, một phần $300~\mathrm{km}$ và một phần $400~\mathrm{km}$. Phi công biết rằng tốc độ trung bình trong các đoạn này là $40~\mathrm{km}/\mathrm{h}$, $75~\mathrm{km}/\mathrm{h}$ và $80~\mathrm{km}/\mathrm{h}$, nhưng anh ta không nhớ tốc độ nào trong số này tương ứng với từng đoạn này. Chúng tôi có thể đảm bảo rằng tổng thời gian tính theo giờ mà phi công đã dành để thực hiện ba phần là:

A) nhỏ hơn hoặc bằng 13 giờ

B) lớn hơn hoặc bằng 13 giờ và nhỏ hơn hoặc bằng 16 giờ

C) lớn hơn hoặc bằng 16 giờ và nhỏ hơn hoặc bằng 17 giờ

D) lớn hơn hoặc bằng 15 giờ và nhỏ hơn hoặc bằng 18 giờ

E) lớn hơn hoặc bằng 18 giờ

Trong hình, số đo của một số góc được biểu thị bằng độ dưới dạng hàm của $x$. $x$ trị giá bao nhiêu?

A) $6^{\circ}$

B) $12^{\circ}$

C) $18^{\circ}$

D) $20^{\circ}$

E) $24^{\circ}$

Xác định giá trị của $123456123456 \div 1000001 =$.

Căn bậc nhất của phương trình $2(x-3 \sqrt{5})(x-5 \sqrt{3})=0$ là bao nhiêu?

Luíza, Maria, Antônio và Júlio là anh em. Hai người trong số họ có cùng chiều cao. Được biết rằng:
- Luíza lớn hơn Antônio
- Maria nhỏ hơn Luíza
- Antônio lớn hơn Júlio
- Julio nhỏ hơn Maria.
Ai trong số họ có cùng chiều cao?

A) Maria và Julio

B) Júlio và Luíza

C) Antônio và Luíza

D) Antônio và Júlio

E) Antonio và Maria

Nếu $x + y = 8$ và $x y = 15$ thì giá trị của $x^{2} + 6 x y + y^{2}$ là bao nhiêu?


A) 64

B) 109

C) 120

D) 124

E) 154

1) Xác định giá trị của $(666666666)^2-(333333333)^2$.

Dấu của tích và dấu của thương: $a$, $b$, $c$ và $d$ là bốn số khác 0 sao cho thương $\frac{a}{5}$, $\frac{-b}{7 a}$, $\frac{11}{a b c}$, $\frac{-18}{a b c d}$ là dương. Xác định các dấu $a$, $b$, $c$ và $d$.

Để đổ đầy nước vào một bể có hình khối chữ nhật $300~\mathrm{cm}$ dài, $50~\mathrm{cm}$ và cao $36~\mathrm{cm}$, một người đàn ông


sử dụng một thùng hình trụ, có đường kính $30~\mathrm{cm}$ ở đáy và chiều cao $48~\mathrm{cm}$, để lấy nước từ đài phun nước. Mỗi lần đến đài phun nước, anh ấy đổ đầy $\frac{4}{5}$ từ thùng và trên đường đi làm đổ $10\%$ bên trong ra. Nếu ban đầu bể rỗng thì người đó phải thực hiện bao nhiêu chuyến đi đến nguồn để nước trong bể đạt tới độ cao $\frac{3}{4}$?

Nếu cung $60^{\circ}$ trên đường tròn I có cùng độ dài với cung $45^{\circ}$ trên đường tròn II thì tỉ số diện tích của hình tròn I và diện tích của hình tròn II là:

(A) $16/9$

(B) $9/16$

(C) $4/3$

(D) $3/4$

(E) $6/9$

Cho $P$ là một $2006$-giác lồi. Các đường chéo $1003$ nối các đỉnh đối diện và các đường $1003$ nối trung điểm của các cạnh đối diện là đồng quy, nghĩa là tất cả các đường $2006$ đều có một điểm chung. Chứng minh rằng các cạnh đối của $P$ song song và bằng nhau.

Một vận động viên chạy $5000~\mathrm{m}$ mỗi tuần trên sân thể thao, sân này có đường chạy ngắn và đường chạy dài. Trong một tuần, anh ấy tập luyện sáu ngày, mỗi ngày chạy một lần trên đường chạy dài và hai lần trên đường chạy ngắn. Tuần tiếp theo, anh ấy tập luyện bảy ngày, mỗi ngày chạy một lần trên mỗi đường đua. Khi đó chúng ta có thể nói rằng:

A) đoạn dài dài gấp ba lần đoạn ngắn.

B) đoạn dài dài hơn đoạn ngắn gấp bốn lần.

C) đoạn dài dài hơn đoạn ngắn gấp 5 lần.

D) bản nhạc dài $600~\mathrm{m}$ dài hơn bản nhạc ngắn.

E) bản nhạc dài $500~\mathrm{m}$ dài hơn bản nhạc ngắn.

Hình vuông $STUV$ được tạo thành từ một hình vuông được bao bọc bởi 4 hình chữ nhật bằng nhau. Chu vi của mỗi hình chữ nhật là $40~\mathrm{cm}$. Diện tích hình vuông $STUV$ trong $\mathrm{cm}^2$ là bao nhiêu?




(A) 400

(B) 200

(C) 160

(D) 100

Trong hình chúng ta có $\hat{B}=50^{\circ}$, $AD$ và $CD$ lần lượt là các phân giác của các góc $\hat{A}$ và $\hat{C}$.
Số đo của góc $A \hat{D} C$ là bao nhiêu?

A) $90^{\circ}$

B) $100^{\circ}$

C) $115^{\circ}$

D) $122.5^{\circ}$

E) $125^{\circ}$