MYTS 2018 - Lớp 8 - Vòng 2

Tìm tất cả số ba chữ số bằng lập phương tổng các chữ số của chính nó.

Hai số thực a,b khác 0 thỏa a+b=3 và (1+a)²/b+(1+b)²/a=35. Tính a⁷+b⁷.

Ghi 1,2,…,2018 trên bảng. Mỗi lần xóa một số số và thay bằng số dư của tổng các số vừa xóa khi chia 31. Cuối cùng còn hai số, một số là 96. Tìm số kia.

Cho hình vuông ABCD tâm O. Trên tia đối của CD lấy M, trên tia đối của DC lấy N sao cho CM+DN=CD. Gọi I=AM∩BN,P=OI∩AB. Chứng minh góc MPN=90°.

Trong mặt phẳng có tứ giác ABCD và 19 đường thẳng phân biệt, đôi một không song song. Mỗi đường cách đều hai đỉnh nào đó của tứ giác. Chứng minh có ít nhất ba đường đồng quy.

Với số nguyên n≥2, F_n gồm các phân số a/b với 0≤a$<$b≤n và a,b nguyên tố cùng nhau. Ví dụ F_2={0/1,1/2},F_3={0/1,1/3,1/2,2/3},F_4={0/1,1/4,1/3,1/2,2/3,3/4}. Chứng minh F_n có số phần tử chẵn.