MYTS 2017 - Lớp 8 - Vòng 2

Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (a,b,c,d) thỏa mãn đồng thời $ab=c+d$ và $a+b=cd$.

Cho bốn số thực không nhất thiết phân biệt có tổng bằng 172, đồng thời tổng hai số tùy ý trong bốn số luôn không âm. Gọi ℓ là số nhỏ nhất, hỏi giá trị nhỏ nhất của ℓ bằng bao nhiêu?

Giả sử đa thức q(x) thỏa mãn $x^{17}=(x^3-x^2-x+1)q(x)+ax^2+bx+c$, trong đó a,b,c là ba số thực. Tìm b.

Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC và đường cao AH. Trên HC lấy M sao cho MC=2MH. Đường thẳng ℓ qua H vuông góc AM cắt AB kéo dài tại N. Trên tia đối của NH lấy K sao cho NH=NK. Gọi I là giao điểm BC và AK. Tính IK/AK.

Có 7 em học sinh thi đấu bóng bàn. Ngày thứ nhất, mỗi em có thể chưa đấu trận nào hoặc đã đấu một hay nhiều trận. Biết mỗi em thắng không quá 1 trận trong hôm đó. Chứng minh: (a) Trong 4 em tùy ý có ít nhất hai em chưa đấu với nhau; (b) Hết ngày thứ nhất, luôn có thể xếp 7 em thành ba nhóm sao cho các em cùng nhóm chưa đấu với nhau trận nào.

Hình vẽ là một hình tháp gồm 21 ô vuông. Thầy Thuận điền vào mỗi ô một số tự nhiên sao cho, không kể các ô trong hàng dưới cùng, số ghi trong mỗi ô bằng tổng hai số ghi trong hai ô liền dưới nó. Hình đã điền số là một ví dụ. Hỏi thầy Thuận có thể viết được ít nhất bao nhiêu số CHẴN trong hình tháp? Tại sao?