VTMO 2026 - Lớp 9 - Bán kết - SET 05 - Tự luyện tập

Tích của năm số nguyên tố lẻ khác nhau là số có năm chữ số $\overline{abcab}$ với $c=0$. Có bao nhiêu bộ năm số như vậy?

Cho hình vuông $ABCD$ có tâm $O$. Trên $AB$ lấy điểm $M$ bất kỳ khác $A,B$. Đường thẳng qua $M$ song song với $BD$ cắt $AC$ tại $N$. Hai đường thẳng $DN$ và $CM$ cắt nhau tại $E$, $DN$ cắt $AB$ tại $F$.

a) Chứng minh góc $DEC$ không đổi khi $M$ thay đổi.

b) Chứng minh $E$ nằm trên đường tròn tâm $O$, bán kính $OA$.

c) Tìm vị trí của $M$ để $MF$ lớn nhất.

Cho đa thức $P(x)$. Khi chia $P(x)$ cho $2x+1$ thì dư $-4$; khi chia cho $5x-2$ thì dư 5. Phép chia $P(x)$ cho $10x^2+x-2$ có thương là $x$ và có dư. Tính $P(2)$.

Bốn điểm $A,B,C,D$ theo thứ tự nằm trên đường tròn tâm $O$, bán kính 1. Biết $AB\parallel CD$, $AB=CD/2$ và $AC\perp BD$. Tính diện tích tứ giác $ABCD$.

Đại diện của năm quốc gia ngồi quanh một bàn tròn, mỗi quốc gia có thể có vài đại diện. Với hai quốc gia bất kỳ, tồn tại đại diện của hai quốc gia đó ngồi cạnh nhau. Ít nhất có bao nhiêu người quanh bàn?

Cho $P(x)=x^2-2019x+c$. Cả hai nghiệm thực của $P(x)$ đều là số nguyên tố. Tìm $c$.

Một số nguyên có ba chữ số có tính chất: bỏ chữ số đầu thì được số chính phương; bỏ chữ số cuối cũng được số chính phương. Tính tổng tất cả các số như vậy.

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa $a+b+c=10$ và $ab+bc+ca=15$. Tính $A=a^2+b^2+c^2$.

Với ký hiệu $5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$, tìm giá trị lớn nhất của số nguyên $n$ để $59!$ chia hết cho $2016^n$.

Với mọi số thực dương $a,b,c$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$, xác định số thực nhỏ nhất $k$ sao cho: nếu $\min\{a+b,b+c,c+a\}\gt k$ thì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh một tam giác.

Cho 100 quả táo vào 20 túi sao cho mỗi túi có đúng 3 quả táo hoặc $x$ quả táo. Có bao nhiêu giá trị $x$ như vậy?

Trong hình, $ABC$ là tam giác cân với $AB=AC$. Tam giác đều $DEF$ nằm trong $ABC$, với $D\in AB,E\in BC,F\in AC$. Biết $\angle ADF=50^\circ$ và $\angle A$ bằng nửa $\angle DEF$. Tính $\angle BED$.

Cho $AD,BE$ là hai đường phân giác của tam giác $ABC$. Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ADC,BEC$ cắt nhau tại điểm thứ hai $F$ trên $AB$. Tính góc $ACB$.

Tính $2012^2-2011\cdot2013$.

Cho $p,q$ là hai số nguyên tố liên tiếp với $p\gt q\gt 2$. Chứng minh $p+q$ có ít nhất bốn ước số dương.

Ba hộp hình lập phương có kích thước nguyên tính bằng cm. Hộp thứ nhất chứa được hộp thứ hai, hộp thứ hai chứa được hộp thứ ba. Thể tích hộp thứ nhất lớn hơn hộp thứ ba $218\,\mathrm{cm}^3$. Tính thể tích hộp thứ ba.

Tổng bình phương của ba số lẻ liên tiếp là một số tự nhiên có bốn chữ số giống nhau. Gọi $S$ là tổng ba số tự nhiên liên tiếp đó. Tổng các chữ số của $S$ bằng bao nhiêu?

Tam giác $ABC$ có $AD$ là phân giác góc $A$, $D\in BC$, và $\angle ADB:\angle ADC=4:5$. Đường trung trực của $BC$ cắt $AC$ tại $M$. Tính $\angle ABM$.

An có 10 đoạn thẳng có độ dài $1,2,\ldots,10$. Có bao nhiêu cách chọn ba đoạn có thể tạo thành một tam giác?

Một đội bóng phải thi đấu 90 trận. Trong 50 trận đầu đội thắng 40 trận. Cần thắng bao nhiêu trận còn lại để thắng đúng $70\%$ số trận cả mùa?