VTMO 2026 - Lớp 9 - Bán kết - SET 04 - Tự luyện tập

Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho $(d_1):y=ax+3$ và $(d_2):y=bx+3$. Gọi $A,B,C$ lần lượt là giao điểm của $(d_1),(d_2)$; $(d_1),Ox$; $(d_2),Ox$. Biết tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có một góc bằng $60^\circ$. Tính $P=a^2+b^2$.

Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$, có điểm $C$ thuộc đường tròn. Qua $C$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $(O)$ tại $D$. Trên đoạn $AB$ lấy điểm $E$ sao cho $AE=BD$. Kéo dài $CE$ cắt $(O)$ tại $M$, kéo dài $DO$ cắt $(O)$ tại $N$, $AN$ cắt $BM$ tại $F$. Chứng minh $EF\perp AB$.

Cho đa giác đều 20 cạnh. Có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh chọn từ các đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn $100^\circ$?

An và Bình cùng hoàn thành một công việc trong ba giờ. Nếu làm riêng, thời gian tính bằng giờ của mỗi người đều là số tự nhiên và năng suất của Bình cao hơn An. Hỏi Bình cần bao nhiêu giờ để làm riêng công việc đó?

Cho $M=n^2+n+37$, $n$ là số tự nhiên. Có bao nhiêu giá trị $n$ từ 1 đến 50 để $M$ là một lũy thừa của 7?

Cho $n$ là số tự nhiên chẵn có 15 ước nguyên dương. Số $3n/2$ có nhiều nhất bao nhiêu ước nguyên dương?

Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số mà hiệu của hai chữ số liền kề bất kỳ không vượt quá 1? Ví dụ: 123, 434, 987, 221, 555.

Trong hệ tọa độ $Oxy$, các điểm có tọa độ như hình. Tam giác $ADB$ và tam giác $CBO$ có cùng diện tích. Tìm $a$.

Cho hai số nguyên $a,b$ sao cho phương trình $x^2+ax+1-b=0$ có hai nghiệm nguyên khác 0. Chứng minh $a^2+b^2$ là hợp số.

Cho các số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa $a^3=b^2$, $c^5=d^4$ và $a-c=9$. Tính $b-d$.

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x,y)$ với $x\lt y$, $x+y=2020$ và $xy$ là bội của 20?

Cho tam giác nhọn $ABC$ cân tại $A$, nội tiếp đường tròn $(O)$. Lấy $D$ trên cung nhỏ $BC$ sao cho $DB\lt DC$. Qua $B,C$ kẻ các đường thẳng song song với $AD$, cắt $(O)$ tại các điểm thứ hai $E,F$. Trên cung nhỏ $AE$ lấy $K$ khác $A,E$. $KE$ cắt $AC$ tại $M$, $KF$ cắt $AB$ tại $N$. Chứng minh $MN,KD,BC$ đồng quy.

An, Bình, Châu đứng trên một đường thẳng. An cách Bình 100 m về phía Tây, Châu cách Bình 160 m về phía Đông. Cùng lúc, An đi về phía Nam với vận tốc 20 m/phút, Châu đi về phía Bắc với vận tốc 41 m/phút, còn Bình đứng yên. Sau bao lâu khoảng cách Châu–Bình gấp đôi khoảng cách An–Bình?

Cho các biểu thức
$$A=37^n+71^n-2^n-1,$$
$$B=n(n^2-6)^2(n^2-1)-n^3(n-1)(n+1),$$
$$C=1+2+\cdots+(21n+1).$$
Với mọi số tự nhiên $n$, các biểu thức nào luôn chia hết cho 21?

Có tám người bạn đi ăn và định chia đều hóa đơn. Tuấn quên tiền ở nhà nên mỗi người trong bảy người còn lại phải trả thêm 25 000 đồng. Hóa đơn trị giá bao nhiêu đồng?

An lái xe với vận tốc trung bình 55 km/giờ, thời gian đi tính bằng giờ là số nguyên. Khi bắt đầu, đồng hồ kilomet chỉ $\overline{abc}$, với $a\ge1$ và $a+b+c\le7$. Khi đến nơi, đồng hồ chỉ $\overline{cba}$. Tính $a^2+b^2+c^2$.

Từ các chữ số $0,1,2,3,4,5$ có thể lập bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau?

Một ngày được gọi là ngày nguyên tố nếu số chỉ ngày và số chỉ tháng đều là số nguyên tố. Ví dụ 29/3 là ngày nguyên tố còn 28/3 không phải. Trong năm 2019 có bao nhiêu ngày nguyên tố?

Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của $(x+1)(2x-3)+(x-4)(x+11)+38=0$. Tính $x_1^2+x_2^2$.

Tìm tổng tất cả nghiệm thực của phương trình $(x+4\sqrt{x}+3)(x+12\sqrt{x}+27)=320x$.