Một xe ô tô cần chạy quãng đường 80 km trong thời gian đã dự định. Vì trời mưa nên một phần tư quãng đường đầu xe phải chạy chậm hơn vận tốc dự định 15 km/giờ; do đó quãng đường còn lại xe phải chạy nhanh hơn vận tốc dự định 10 km/giờ. Tính thời gian dự định của ô tô.
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB\lt AC$, đường cao $AH$. Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $AHB,AHC$. Gọi $D=AI\cap BH$, $F=IJ\cap AC$, $K=DJ\cap BF$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $AKD$ tiếp xúc với $BC$.
Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$, $C$ là điểm bất kỳ trên đoạn $AB$. Dựng hai đường tròn $(O_1),(O_2)$ có đường kính lần lượt là $AC,CB$. $M$ là điểm bất kỳ trên $(O)$ khác $A,B$. Gọi $ME$ là tiếp tuyến với $(O_1)$, $MF$ là tiếp tuyến với $(O_2)$, với $E,F$ là các tiếp điểm.
a) Chứng minh $\left(\dfrac{ME}{MA}\right)^2+\left(\dfrac{MF}{MB}\right)^2=1$.