VTMO 2026 - Lớp 9 - Chung kết - SET 4 - Tự luyện tập

Cho hình vuông $ABCD$ và đường tròn $(A,AB)$. Gọi $M$ là điểm bất kỳ trên $BC$, qua $M$ kẻ tiếp tuyến với đường tròn $(A,AB)$ cắt $CD$ tại $N$.

a) Khi $MB=MC$, tính tỉ lệ $NC:ND$.

b) Chứng minh rằng khi $M$ thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ nằm trên một đường thẳng cố định.

Cho $(I)$ là đường tròn nội tiếp tam giác $(S)$. Ba đường tiếp tuyến với $(I)$ và song song với 3 cạnh tam giác $(S)$ cắt các cạnh của tam giác $(S)$ tại 6 điểm $A,B,C,D,E,F$. Chứng minh rằng lục giác $ABCDEF$ có các cặp cạnh đối bằng nhau.

Cho các số nguyên dương $a,b,c,d$ với $a\gt b$, $c\gt d$. Chứng minh rằng nếu $a+b+c+d=ab-cd$ thì $a+c$ là hợp số.

Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x+y+z=5$ và $x^2+y^2+z^2=9$.

a) Chứng minh $1\le x,y,z\le\dfrac73$.

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P=xyz$.

Cho $a,b,c$ là các số thực sao cho $a\ge b\ge c\gt 0$. Chứng minh $(a-b+c)\left(\dfrac1a-\dfrac1b+\dfrac1c\right)\ge1$.