VTMO 2026 - Lớp 9 - Chung kết - SET 1 - Tự luyện tập

Cho tứ giác $ABCD$, trên cạnh $AB$ và cạnh $CD$ lấy điểm $M$ và $N$ sao cho $\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{DN}{DC}$. Gọi $O$ là trung điểm $MN$. Chứng minh rằng $O$ di chuyển trên một đường thẳng cố định.

Cho $AD$ và $BE$ là hai đường phân giác tam giác $ABC$. Hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $ADC$ và $BEC$ cắt nhau tại điểm thứ hai $F$ trên $AB$. Tính góc $\angle ACB$.

Cho tam giác $ABC$, $G$ là một điểm nằm trong $\triangle ABC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là giao điểm của $AG,BG,CG$ với các cạnh $BC,CA,AB$. Giả sử $\dfrac{AG}{GM}+\dfrac{BG}{GN}+\dfrac{CG}{GP}=6$. Chứng minh rằng $G$ là trọng tâm của $\triangle ABC$.

Cho hình bình hành $ABCD$, $AB=2BC$, $\angle DAB>90^\circ$. Gọi $M$ là trung điểm của $DC$. Trên đường thẳng $AC$ lấy điểm $K$ sao cho $\angle MKC=\angle CKB$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $DKM$ cắt $AC$ tại điểm thứ hai $N$. Tính tỉ số $\dfrac{NA}{NC}$.

Tìm tất cả số nguyên $k$ sao cho phương trình ẩn $x$ bên dưới có các nghiệm đều là số nguyên: $$x^2-2kx+3k+2=0.$$