a) Tam giác nhọn $ABC$ có trung tuyến $AM$ ($M\in BC$) và đường cao $BE$ ($E\in AC$). $AM$ cắt $BE$ tại $K$, biết $\angle MAC=30^\circ$. Chứng minh $AC=\sqrt3\,BK$.
b) Tam giác nhọn $ABC$ có $\angle ACB=45^\circ$ và $AB\lt AC$. Vẽ đường cao $AH$ ($H\in BC$) và phân giác $BD$ ($D\in AC$). Đường trung trực của $BC$ cắt $AC$ tại $K$; $BD$ cắt $AH$ tại $I$. Biết $KA=KD$. Chứng minh tam giác $AIB$ cân.
Bắt đầu với dãy gồm $2019$ số nguyên dương đầu tiên. Liên tục thay mỗi số bởi tổng các chữ số của nó cho đến khi tất cả các số thu được đều có một chữ số. Tổng các số trong dãy cuối cùng bằng bao nhiêu?
Tom đang cách Jerry $100$ m. Theo tính toán của Tom, sau $20$ giây sẽ bắt được Jerry. Khi Tom còn cách Jerry $15$ m, Jerry tăng vận tốc gấp $3$ lần vận tốc ban đầu. Tom không đổi vận tốc và vẫn bắt được Jerry, nhưng chậm hơn dự kiến $2$ giây. Tính vận tốc ban đầu của Tom, đơn vị m/giây.
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB\lt AC$, có $M$ là trung điểm $BC$. Trên tia đối của tia $MA$, lấy $D$ sao cho $MD=MA$. Từ $B,C$ kẻ các đường vuông góc với $AD$, lần lượt tại $E,F$.
a) Chứng minh $\angle BFD=\angle CEA$.
b) Từ $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $K$; $DK$ cắt $BE$ tại $N$. Chứng minh $AN=NC$.