Cho bảng $21\times21$ gồm các ô vuông nhỏ như hình. Mỗi ô được điền số $1$ hoặc $-1$. Gọi $d_i$ là tích các số ở dòng thứ $i$ và $c_j$ là tích các số ở cột thứ $j$, với $i,j\in\{1,2,\ldots,21\}$. Đặt $D=d_1+d_2+\cdots+d_{21}$ và $C=c_1+c_2+\cdots+c_{21}$. Chứng minh $D+C\ne0$.
Một số tự nhiên được gọi là số “thú vị” nếu nó là tích của đúng hai số nguyên tố; hai số nguyên tố này có thể bằng nhau. Hãy chỉ ra ba số tự nhiên liên tiếp đều là số “thú vị”. Chứng minh rằng bốn số tự nhiên liên tiếp bất kỳ không thể đồng thời là các số “thú vị”.
Cho $k_1,k_2,k_3$ là các số nguyên dương, $k_1+k_2+k_3=2021$. Các số $x_1,x_2,x_3$ thỏa mãn $\frac{|x_1-x_2|}{k_1}=\frac{|x_2-x_3|}{k_2}=\frac{|x_3-x_1|}{k_3}$. Tính $T=(x_1+x_2-2x_3)^{2021}$.
Cho tam giác $ABC$, có $M$ là trung điểm $BC$ và $N$ là trung điểm $AM$. Trên tia đối của tia $NB$, lấy điểm $D$ sao cho $DN=NB$. Gọi $E$ là giao điểm của hai tia $CD$ và $BA$.
