a) Trong một cuộc thi có $25\%$ thí sinh được nhận giải thưởng. Có $\frac27$ số thí sinh nam được giải thưởng, trong khi $420$ bạn nam không đạt giải. Có $648$ thí sinh nữ tham dự. Hỏi có bao nhiêu thí sinh nữ được giải thưởng?
b) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất không chứa chữ số $9$ nhưng chia hết cho $999$.
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $Bx$ là đường phân giác trong của $\angle A$ [giữ nguyên ký hiệu góc trong nguồn]. Từ $C$ hạ đường thẳng vuông góc với $Bx$ tại $D$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$, $DM$ cắt $BC$ tại $N$.
Một chiếc tàu lửa đi từ $A$ đến $B$ với một vận tốc không đổi. Sau khi đi được $70$ km, người lái tàu phát hiện một lỗi ở động cơ nên đề xuất giảm vận tốc $25\%$ so với vận tốc ban đầu. Trưởng tàu tính rằng như vậy tàu sẽ đến $B$ trễ hơn dự định $1$ giờ $20$ phút, vượt giới hạn cho phép. Vì vậy ông yêu cầu tàu chạy với vận tốc ban đầu thêm $40$ km rồi mới giảm vận tốc như đề xuất; kết quả tàu đến $B$ trễ $1$ giờ. Tính vận tốc dự định của tàu.
Tập hợp $A=\{1,2\}$ có bốn tập con: $\varnothing$, $\{1\}$, $\{2\}$, $\{1,2\}$. Tổng các phần tử của từng tập con lần lượt là $0,1,2,3$. Ký hiệu $S[A]$ là tổng các tổng phần tử của tất cả các tập con của $A$; vậy $S[A]=0+1+2+3=6$.
a) Cho $B=\{1,2,3\}$. Tính $S[B]$.
b) Cho $C=\{a,b,c,d\}$, trong đó $a,b,c,d$ là các số tự nhiên khác nhau. Chứng minh $S[C]$ chia hết cho $8$.