VTMO 2026 - Lớp 8 - Bán kết - SET 06 - Tự luyện tập

Đường thẳng qua $M=(-2,5)$, song song $y=2x+2024$, có dạng $y=ax+b$, $a\ne0$. Tính $a+b$.

Đường thẳng $y=-ax+b$, $a,b>0$, đi qua $M=(1,2)$, cắt $Ox$ tại $A$, $Oy$ tại $B$. Khi diện tích tam giác $OAB$ nhỏ nhất, tính $a+b$.

Với $x,y,z,t\in[1/3,1]$ là các số thực, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $P=\dfrac{y+z+t}{1+x}+\dfrac{x+z+t}{1+y}+\dfrac{x+y+t}{1+z}+\dfrac{x+y+z}{1+t}$.

Tìm các số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại hai số nguyên $a,b$ thỏa $\dfrac1p=\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}$.

Với $x$ nguyên, tìm giá trị nhỏ nhất của $P(x)=\dfrac{4x^4+81}{2x^2+6x+9}$.

Có bao nhiêu cách xếp ba sách Văn học khác nhau và bốn sách Toán khác nhau trên một kệ sao cho các sách Văn học nằm liền nhau?

Chia $1,2,\ldots,100$ thành hai tập rời nhau $A=\{a_1,\ldots,a_{50}\}$, $B=\{b_1,\ldots,b_{50}\}$, với $a_1\lt \cdots\lt a_{50}$, $b_1>\cdots>b_{50}$. Chứng minh $\sum_{i=1}^{50}|a_i-b_i|=50^2$.

Các số nguyên $4,4,x,y,13$ thỏa $4\le4\le x\le y\le13$. Có bao nhiêu cặp $(x,y)$ khác nhau để trung bình cộng của năm số là số nguyên?

Với giá trị nào của $a$ dưới đây, $4y^2-24y-a$ là bình phương của một đa thức?

Trong ngôi sao năm cánh như hình, tính tổng năm góc ở các mũi $a+b+c+d+e$.

Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa $(x-1)(x-3)(x-5)\cdots(x-2021)(x-2023)\lt 0$?

Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số mà hai chữ số liền kề bất kỳ có hiệu tuyệt đối không vượt quá $1$? Được lặp chữ số, như $221$ hoặc $555$.

Hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=7$ cm, $BC=24$ cm. Lấy $E,F$ trên đường chéo $AC$ sao cho $AE=CF=10$ cm. Các đường $BE,BF$ cắt $AD,CD$ lần lượt tại $G,H$. Tính diện tích tứ giác $EFHG$ (cm²).

Tam giác $ABC$ cân tại $A$, $M$ là trung điểm $AB$. Lấy $F$ trên $AC$, $E$ trên tia đối của tia $BA$ sao cho $BE=2CF$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $F$. Các đường $EF$, $BC$ cắt nhau tại $K$; $DK$ cắt $AB$ tại $N$. Chứng minh $MN=CF$.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Điểm $M$ nằm trong tam giác, thỏa $\angle MAC:\angle MBA=1:2$. Biết $AB=41$ cm, $AM=18$ cm, tính diện tích tam giác $MAB$ (cm²).

Các số nguyên $m,n,p,r$ sao cho ba phương trình $mx^3+nx^2+px+r=2021$, $mx^3+nx^2+px+r=2022$, $mx^3+nx^2+px+r=2023$ lần lượt có nghiệm nguyên $a,b,c$. Chứng minh $a+c=2b$.

Khi chia $1001$ cho một số nguyên tố lẻ, số dư là $1$. Khi chia $2012$ cho số nguyên tố đó, số dư bằng bao nhiêu?

Có $50$ đồng xu ban đầu cùng nằm sấp. Lần thứ nhất lật $25$ đồng, lần thứ hai $29$ đồng, lần thứ ba $14$ đồng; cuối cùng cả $50$ đồng đều ngửa. Có bao nhiêu đồng được lật cả ba lần?

Cho $f(x)=1+2x+3x^2+\cdots+2015x^{2014}$. Tính $f(-1)$.

Với các số tự nhiên, định nghĩa $a*b=(a+1)(b+1)$. Biết $a>b$, $a*b=13$, tìm $a$.