VTMO 2026 - Lớp 9 - Bán kết - SET 1 - Tự luyện tập

Câu hỏi 1

Hai công nhân có năng suất khác nhau và không đổi. Người thứ nhất đã làm được 12 sản phẩm và mỗi giờ làm thêm 2 sản phẩm. Người thứ hai đã làm được 6 sản phẩm và cứ 2 giờ làm thêm 5 sản phẩm. Khi số sản phẩm của hai người bằng nhau, mỗi người đã làm được bao nhiêu sản phẩm?

1. 24
2. 28
3. 32
4. 36
5. 42

Câu hỏi 2

Cho $A=\{1,2,\ldots,100\}$. Tập con $B_k$ của $A$ có $k$ phần tử sao cho tổng hai phần tử bất kỳ không chia hết cho hiệu của chúng. Tìm giá trị lớn nhất của $k$ và chứng minh.

Câu hỏi 3

Tỉ lệ các góc liên tiếp của một tứ giác nội tiếp có thể là tỉ lệ nào?

1. 1 : 2 : 3 : 4
2. 1 : 2 : 4 : 3
3. 1 : 3 : 2 : 4
4. 1 : 4 : 3 : 2
5. 1 : 4 : 2 : 3

Câu hỏi 4

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AB=30$, $AC=40$. Đường tròn nội tiếp tâm $I$ tiếp xúc $BC$ tại $K$. Lấy $M$ trên đoạn $KC$ sao cho đường thẳng $AM$ cắt đường tròn lần lượt tại $E,F$ và $AE=MF$. Tính $EF$.

1. $4\sqrt5$
2. $4\sqrt{15}$
3. 16
4. $8\sqrt{15}$
5. $8\sqrt5$

Câu hỏi 5

Có 7 số nguyên liên tiếp, tổng 3 số nhỏ nhất bằng 33. Tổng 3 số lớn nhất bằng bao nhiêu?

1. 37
2. 39
3. 42
4. 45
5. 48

Câu hỏi 6

An, Nam, Minh chạy quanh bờ hồ với vận tốc không đổi lần lượt là 5, 7, 9 km/giờ. Ba bạn xuất phát cùng lúc, cùng vị trí và chạy cùng chiều. Mỗi lần cả ba gặp nhau, ta đánh dấu vị trí đó. Có tất cả bao nhiêu điểm phân biệt được đánh dấu trên bờ hồ?

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Câu hỏi 7

Tính $\dfrac{(2102+2012)^2-(2102-2012)^2}{2102\cdot2012}$.

1. 2
2. 4
3. 2012
4. 2102
5. Đáp số khác

Câu hỏi 8

Hai đường tròn tâm $O,I$ có bán kính lần lượt 2,3, cắt nhau tại $A,B$ và $\angle AOI=90^\circ$. Cát tuyến qua A cắt lại hai đường tròn lần lượt tại $M,C$, khác A. Biết $MA=MC$, tính $AC$.

1. $3\sqrt5$
2. $\frac{8\sqrt5}{3}$
3. $2\sqrt5$
4. $\frac{4\sqrt5}{3}$
5. $\sqrt5$

Câu hỏi 9

Cho $A=\{a_1,a_2,\ldots,a_{11}\}$ gồm các số nguyên dương, với $a_i<a_j$ khi $i<j$. Với mỗi số nguyên dương $n\le2024$ không thuộc A, luôn chọn được các phần tử phân biệt thuộc A có tổng bằng n. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $a_{10}$.

Câu hỏi 10

Tính tổng năm góc ở các đỉnh nhọn $a,b,c,d,e$ của ngôi sao trong hình.

1. $150^\circ$
2. $180^\circ$
3. $300^\circ$
4. $360^\circ$
5. Đáp số khác

Câu hỏi 11

Nếu tăng cả chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật thêm 3 đơn vị thì diện tích tăng gấp đôi. Nếu giảm cả hai kích thước ban đầu đi 3 đơn vị thì diện tích mới bằng bao nhiêu?

1. 18
2. 27
3. 15
4. 24
5. 20

Câu hỏi 12

Ba hình chữ nhật có kích thước khác nhau, cùng diện tích $x\text{ cm}^2$, được xếp cạnh nhau như hình. Mọi độ dài cạnh tính bằng cm đều là số nguyên dương, hình ngoài cùng bên trái là hình vuông và $AB=x\text{ cm}$. Tìm x.

Câu hỏi 13

Cho $A=\{1,2,3,\ldots,2020\}$. Có bao nhiêu cách chọn hai số nguyên $a,b\in A$, $a<b$, sao cho $b/a$ là lũy thừa của 2?

Câu hỏi 14

Đường tròn tâm O có bán kính 1 cm; M là một điểm trên đường tròn. Vẽ đường tròn tâm K đường kính MO. Đường thẳng d cắt hai đường tròn tại bốn điểm phân biệt A,B,C,D, trong đó A,D nằm trên đường tròn tâm O và $AB=BC=CD$. Tính khoảng cách từ O đến d.

1. $\frac14$ cm
2. $\frac13$ cm
3. $\frac18$ cm
4. $\frac16$ cm
5. $\frac23$ cm

Câu hỏi 15

A là số có 9 chữ số và chia 9 dư 2. B là tổng các chữ số của A, còn C là tổng các chữ số của B. Giá trị nào sau đây có thể là C?

1. 1
2. 3
3. 11
4. 9
5. 5

Câu hỏi 16

Một bảng $7\times7$ gồm 49 ô được đặt 22 quân cờ, mỗi ô không quá một quân. Hai quân tấn công nhau nếu cùng hàng hoặc cùng cột. Chứng minh luôn chọn được ít nhất bốn quân đôi một không tấn công nhau.

Câu hỏi 17

Tứ giác ABCD như hình có $AB=BD=BC$ và $\angle DBC=76^\circ$. Tính $\angle DAC$.

1. $36^\circ$
2. $38^\circ$
3. $40^\circ$
4. $52^\circ$
5. $32^\circ$

Câu hỏi 18

Trong tam giác ABC, AD là tia phân giác góc A, $D\in BC$, và $\angle ADB:\angle ADC=4:5$. Đường trung trực của BC cắt đường thẳng AD tại M. Tính $\angle ABM$.

1. $80^\circ$
2. $100^\circ$
3. $120^\circ$
4. $90^\circ$
5. $60^\circ$

Câu hỏi 19

Một nhà ảo thuật xếp n đồng tiền thành một hàng, lúc đầu tất cả đều ngửa. Mỗi lần chọn ba đồng liên tiếp, giữ nguyên đồng ở giữa và lật hai đồng còn lại. Tìm tất cả số nguyên dương n để có thể làm cả n đồng đều sấp, và chứng minh.

Câu hỏi 20

Các số nguyên $4,4,x,y,13$ được sắp theo thứ tự $4\le4\le x\le y\le13$. Có bao nhiêu cặp $(x,y)$ khác nhau để trung bình cộng của năm số là số nguyên?

1. 7
2. 8
3. 9
4. 10
5. 11