VTMO 2026 - Lớp 6 - Chung kết - SET 5 - Tự luyện tập

Trong giỏ của ông già Noel có ba loại kẹo: sô-cô-la, cam và nha đam. Lấy bất kì 100 viên nào cũng chắc chắn có đủ ba loại. Trong giỏ có thể có nhiều nhất bao nhiêu viên kẹo?

Pi nghĩ một số nguyên dương có năm chữ số, rồi xóa một chữ số để được số có bốn chữ số. Tổng của số ban đầu và số còn lại là 52713. Tìm số có năm chữ số ban đầu.

Hai đội $A,B$ mỗi đội có 10 công nhân. Đội $A$ làm xong một đoạn đường trong 14 ngày, một cây cầu trong 25 ngày. Đội $B$ làm xong cùng đoạn đường trong 18 ngày, cùng cây cầu trong 15 ngày. Đội $C$ gồm năm người từ $A$ và năm người từ $B$, làm xong đường rồi làm cầu. Đội $C$ cần tổng cộng bao nhiêu ngày?

Làm rõ mô hình: với từng công việc, các công nhân trong cùng đội ban đầu có năng suất bằng nhau và không đổi; năng suất cộng được. Năng suất có thể khác giữa hai đội và giữa hai công việc.

a) Tìm số tự nhiên $N$ có sáu chữ số, chỉ gồm các chữ số 8 và 9, sao cho $N$ chia hết cho $2^6$.

b) Dùng các chữ số $1,2,3,\ldots,9$, mỗi chữ số đúng một lần, để lập ba số có ba chữ số $a,b,c$ thỏa mãn $a:b:c=1:3:5$. Tìm $a,b,c$.

Một số được gọi là số đối xứng nếu đọc từ trái sang phải cũng giống như đọc từ phải sang trái; ví dụ $7,11,121,1221,\ldots$. Gọi $\overline{abccba}$ là số đối xứng có sáu chữ số.

a) Chứng minh $\overline{abccba}$ chia hết cho 11.

b) Có bao nhiêu số đối xứng có sáu chữ số như vậy chia hết cho 91?

Trong một cuộc thi, 25% tổng số thí sinh được nhận giải. Trong số học sinh nam, $2/7$ được giải, còn 420 bạn không được giải. Có tất cả 648 học sinh nữ tham gia. Hỏi có bao nhiêu học sinh nữ được giải?

Hình chữ nhật $ABCD$ có $AD=18$ cm, $AB=12$ cm. Các điểm $E,F$ lần lượt thuộc $AD,BC$ sao cho $AE=BF=6$ cm. Hai đường chéo $AC,BD$ cắt nhau tại $O$ và cắt $EF$ lần lượt tại $P,Q$. Tính tổng diện tích các phần tô đậm trong hình, theo cm².

Một khối lập phương lớn được ghép từ các khối lập phương đơn vị. Một số mặt ngoài của khối lớn được sơn kín. Khi tháo rời khối lớn, có đúng 45 khối đơn vị không dính sơn. Có bao nhiêu mặt của các khối đơn vị đã được sơn?

a) Hình thứ nhất ghép từ một tam giác, một hình tròn và một hình vuông có diện tích bằng nhau. Các phần giao nhau được tô đậm như hình. Phần không tô đậm của tam giác bằng $5/8$ diện tích cả tam giác; một nửa hình tròn được tô đậm. Tìm tỉ số diện tích phần không tô đậm so với diện tích toàn bộ hình ghép.

b) Ở hình thứ hai, tam giác $PQR$ có ba cạnh đều bằng 3 cm. Các điểm $U,V,W,X,Y,Z$ chia các cạnh thành những đoạn dài 1 cm như hình. Tìm tỉ số diện tích phần tô đậm so với diện tích tam giác $PQR$.

Làm rõ kí hiệu: bổ sung tường minh $W$, điểm chia bên trái trên $QR$, vào danh sách các điểm được đánh dấu.

Tập $A=\{1,2\}$ có bốn tập con: $\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}$. Tổng các phần tử của từng tập con lần lượt là $0,1,2,3$. Kí hiệu $S[A]$ là tổng các tổng này trên tất cả tập con của $A$. Vậy $S[A]=0+1+2+3=6$.

a) Cho $B=\{1,2,3\}$, tính $S[B]$.

b) Cho $C=\{a,b,c,d\}$, trong đó $a,b,c,d$ là các số tự nhiên khác nhau. Chứng minh $S[C]$ chia hết cho 8.

Một số tự nhiên được gọi là “số Harshad” nếu nó chia hết cho tổng tất cả các chữ số của nó. Ví dụ, $2024$ là một số Harshad vì $2+0+2+4=8$ và $2024$ chia hết cho $8$. Có bao nhiêu số Harshad có bốn chữ số, nhỏ hơn $2024$ và chia hết cho $9$?

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $a,b$ đồng thời thỏa mãn hai điều kiện: $a,a+2b,a+4b,a+8b,a+16b$ đều là số nguyên tố; và $b,b+2a,b+4a,b+8a,b+16a$ đều là số nguyên tố. Trình bày chứng minh đầy đủ.

Xe thứ nhất xuất phát từ thành phố $A$ đi đến thành phố $B$ và ngay khi đến $B$ thì quay lại về $A$. Xe thứ hai xuất phát từ $B$ đi đến $A$ và ngay khi đến $A$ thì quay lại về $B$. Hai xe xuất phát cùng lúc. Lần đầu chúng gặp nhau cách $A$ là $30$ km. Sau đó $72$ phút, chúng gặp nhau lần thứ hai cách $B$ là $15$ km; lúc này xe thứ nhất đang quay về $A$ sau khi đã đến $B$. Tính vận tốc mỗi xe.

Làm rõ mô hình của bản luyện tập: mỗi xe giữ vận tốc riêng không đổi trong suốt hành trình; trước lần gặp thứ hai, cả hai xe đều đã đến thành phố đối diện và quay lại. Hình chỉ là sơ đồ, không theo tỉ lệ.