AMO 2025 – Secondary 4 (Lớp 10)

Số dư khi chia $2^{2025}$ cho 5 là bao nhiêu?

Áp dụng phép biến đổi $T(x,y)=(2x,y/4)$ cho elip $x^2/16+y^2/9=1$. Tính diện tích hình thu được.

Ba đường tròn tiếp xúc ngoài từng đôi có tâm tại ba đỉnh một tam giác đều. Một đường tròn lớn bao quanh và tiếp xúc trong với cả ba; một đường tròn nhỏ ở khoảng trống giữa tam giác tiếp xúc ngoài với cả ba. Tỉ số bán kính đường tròn lớn và đường tròn nhỏ bằng bao nhiêu?

Trong hình, A là tâm đường tròn nhỏ, E là trung điểm dây ST; A, E, C thẳng hàng theo thứ tự đó. AC là đường kính nửa đường tròn đi qua T. Biết $AT=8$ và $AE=2$, tính CT.

Tam giác đều cạnh a có đường tròn nội tiếp. Trong mỗi góc, một đường tròn nhỏ tiếp xúc với hai cạnh kề và đường tròn nội tiếp. Tính tổng diện tích ba đường tròn nhỏ.

Biết $x+y=6$ và $xy=5$, tính $x^4+y^4$.

Cho $g(x)=2026x^2-2025x+4051$. Hai điểm $A=(1,g(1))$ và $B=(1+\delta,g(1+\delta))$ thuộc đồ thị, với $\delta\ne0$. Khi $\delta$ tiến về 0, tỉ số $[g(1+\delta)-g(1)]/\delta$ tiến đến đâu? Làm rõ lỗi nguồn: tọa độ B in f chưa được định nghĩa thay cho g; sau công thức còn thừa dấu phẩy và $\delta$. Đồ thị và tỉ số trong đề xác định hàm g như dùng ở đây.

Phương trình $x^{x^2-1011x-2026}=1$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? Xét lũy thừa thực tại những giá trị có nghĩa, kể cả cơ số âm với số mũ nguyên.

Quay $P=(4,7)$ quanh gốc tọa độ ngược chiều kim đồng hồ góc $\theta=90^\circ$. Dùng $x^{\prime}=x\cos\theta-y\sin\theta$, $y^{\prime}=x\sin\theta+y\cos\theta$. Tìm tọa độ mới. Làm rõ lỗi nguồn: ma trận in bị mất bố cục hàng và cột; đây là các phương trình chuẩn của phép quay ngược chiều kim đồng hồ được nêu.

Đây là đề mới nên cần thanh toán để xem toàn bộ.

Đây là đề mới nên cần thanh toán để xem toàn bộ.

Đây là đề mới nên cần thanh toán để xem toàn bộ.

Đây là đề mới nên cần thanh toán để xem toàn bộ.

Đây là đề mới nên cần thanh toán để xem toàn bộ.

Đây là đề mới nên cần thanh toán để xem toàn bộ.

Đây là đề mới nên cần thanh toán để xem toàn bộ.

Đây là đề mới nên cần thanh toán để xem toàn bộ.

Đây là đề mới nên cần thanh toán để xem toàn bộ.

Đây là đề mới nên cần thanh toán để xem toàn bộ.

Đây là đề mới nên cần thanh toán để xem toàn bộ.