AMO 2024 – Secondary 4 (Lớp 10)

Câu hỏi 1

Tam giác đều có diện tích $36\sqrt3$ đơn vị vuông được chia thành bốn tam giác đều bằng nhau rồi gấp thành tứ diện đều như hình. Tính thể tích tứ diện.

1. $18\sqrt2$
2. $18\sqrt3$
3. $\frac{9\sqrt{39}}2$
4. $18\sqrt6$

Câu hỏi 2

Phép biến đổi $T(x,y)=(x/3,y/2)$ biến elip $x^2/9+y^2/4=1$ thành hình mới. Diện tích hình mới bằng bao nhiêu?

1. $6\pi$
2. $3\pi/5$
3. $\pi$
4. $2\pi$

Câu hỏi 3

Chọn ba số khác nhau trong $\{1,3,4,5,10\}$ làm độ dài các cạnh của tam giác A có chu vi nhỏ nhất. Chọn ba số khác nhau trong $\{3,6,8,10,22\}$ làm độ dài các cạnh của tam giác B có chu vi lớn nhất. Tính tổng diện tích hai tam giác.

1. $6\sqrt5+10\sqrt3$
2. 30
3. 32
4. $6\sqrt{11}+10\sqrt3$

Câu hỏi 4

Hai cần gạt nước đều dài $L$, quét hai nửa hình tròn phía trên như hình. Khoảng cách hai tâm quay là $O_1O_2=L$. Tính diện tích được ít nhất một cần gạt quét qua.

1. $\frac{\sqrt3}2\pi L^2$
2. $(\frac{2\pi}3+\frac{\sqrt3}4)L^2$
3. $\pi L^2-\frac{L^2\sqrt3}4$
4. $\frac{2\pi L^2}3$

Câu hỏi 5

Một elip nội tiếp hình chữ nhật kích thước 4 inch và 6 inch như hình. Tính diện tích phần tô màu nằm trong hình chữ nhật và ngoài elip, theo inch vuông.


Chú thích hình: in. là inch.

1. $12+2\pi$
2. $36-8\pi$
3. $24-6\pi$
4. $10-2\pi$

Câu hỏi 6

Trong hình không theo tỉ lệ, $AD\perp AC$ tại A; A, B, C nằm trên một đường thẳng theo thứ tự đó. Biết $AB=3$, $BC=5$, $CD=28$, tính BD.

1. $15\sqrt2$
2. $12\sqrt5$
3. 27
4. 29

Câu hỏi 7

Cho $f(x)=x^2-5x-14$. Hai điểm $A=(2,f(2))$ và $B=(2+\Delta,f(2+\Delta))$ thuộc đồ thị, với $\Delta\ne0$. Khi $\Delta$ tiến về 0, tỉ số $R=[f(2+\Delta)-f(2)]/\Delta$ tiến đến giá trị nào?

1. 7
2. -2
3. 1
4. -1

Câu hỏi 8

Nguồn ghi $x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}=3$. Theo cách hiểu hình thức coi phần đuôi lặp lại cũng bằng 3 của nguồn, x bằng bao nhiêu? Làm rõ: thay phần đuôi bằng 3 rồi giải $x^3=3$; đây là cách hiểu đại số hình thức, không khẳng định dãy tháp lũy thừa hữu hạn thông thường hội tụ đến 3.

1. 3
2. $1/3$
3. $\sqrt[3]3$
4. 1

Câu hỏi 9

Hai trục tọa độ và đường thẳng $3x+4y=12$ tạo thành tam giác vuông. Quay tam giác $360^\circ$ quanh cạnh góc vuông dài hơn. Tính thể tích khối tạo thành.

1. $16\pi$
2. $12\pi$
3. $9\pi$
4. $6\pi$

Câu hỏi 10

Câu hỏi 11

Câu hỏi 12

Câu hỏi 13

Câu hỏi 14

Câu hỏi 15

Câu hỏi 16

Câu hỏi 17

Câu hỏi 18

Câu hỏi 19

Câu hỏi 20