AMO 2022 – Junior College (Lớp 11–12)

Câu hỏi 1

Rút gọn $\frac1{\sqrt4+\sqrt5}+\frac1{\sqrt5+\sqrt6}+\frac1{\sqrt6+\sqrt7}+\cdots+\frac1{\sqrt{624}+\sqrt{625}}$.



Hình: các số hạng đã cho, không thực hiện biến đổi.

1. 8
2. 11
3. 20
4. 23
5. 35

Câu hỏi 2

Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Biết $AC=4\sqrt3$ inch và $\angle CBA=60^\circ$, tìm bán kính đường tròn.

1. 3 inch
2. 4 inch
3. 6 inch
4. 8 inch
5. $2\sqrt3$ inch

Câu hỏi 3

Tìm số dư khi chia $9x^9+8x^8+7x^7+6x^6+5x^5+4x^4+3x^3+2x^2+1$ cho $x+1$.



Chú thích hình: phép chia đa thức; P(x) gồm các bậc từ 9 đến 2 và hằng số 1; số chia x + 1; số dư cần tìm.

1. 15
2. 25
3. 45
4. -3
5. -15

Câu hỏi 4

Một túi lớn có đồng 1 cent, 5 cent và 10 cent; mỗi loại có khả năng được chọn như nhau. Rút ba đồng, xác suất tổng giá trị bằng 25 cent là bao nhiêu? Làm rõ: xét các lần rút độc lập, mỗi loại có xác suất $1/3$ ở mỗi lần, theo ý định của đề.



Chú thích hình: ba lần rút độc lập; mỗi lần có các loại 1, 5, 10 cent; Draw 1, 2, 3 là lần rút thứ nhất, thứ hai, thứ ba.

1. $\frac13$
2. $\frac25$
3. $\frac16$
4. $\frac19$
5. $\frac29$

Câu hỏi 5

Janet làm vòng cổ gồm đúng 11 hạt, mỗi hạt màu đỏ hoặc xanh lá. Các vòng trùng nhau khi quay được tính là một, nhưng không được lật vòng. Có bao nhiêu vòng cổ khác nhau?

1. 120
2. 128
3. 188
4. 216
5. 318

Câu hỏi 6

Ba đường tròn tâm $A,C,E$ đều có bán kính 1. Đường thẳng $HQ$ tiếp xúc với đường tròn tâm $A$; $AF$ cắt $HC$ tại $P$. Điểm $G$ nằm ngoài $Q$ trên đường thẳng $HQ$, và $PG=3$. Tính $GM$. Theo hình, $A,C,E$ nằm trên các đường tròn của nhau, $F$ là giao điểm thứ hai của hai đường tròn tâm $C,E$, và $M,A,C$ thẳng hàng, với $M$ trên đường tròn tâm $A$.

1. $\sqrt{\frac\pi3-5\sqrt3}$
2. $\frac\pi2$
3. $\sqrt{\frac{10}3+2\sqrt3}$
4. $\sqrt{\frac{40}3-2\sqrt3}$
5. $\sqrt{\frac{20}3-2\sqrt5}$

Câu hỏi 7

Hai người ngồi ngẫu nhiên trên ghế dài 18 feet. Xác suất họ cách nhau ít nhất 6 feet là bao nhiêu? Mô hình hóa vị trí của họ bằng hai điểm độc lập, phân bố đều trên ghế.



Chú thích hình: các vị trí trên ghế; ft là feet; hai đầu ghế là 0 và 18 feet.

1. $\frac13$
2. $\frac35$
3. $\frac38$
4. $\frac49$
5. $\frac59$

Câu hỏi 8

Với các hằng số $A,B$, đẳng thức $\frac A{2x-3}+\frac B{5x+3}=\frac{51x-3}{10x^2-9x-9}$ đúng khi các mẫu khác 0. Tính $A+B$.



Chú thích hình: đẳng thức đã cho và các phân thức xuất hiện trong đẳng thức.

1. 10
2. 15
3. 18
4. 21
5. 25

Câu hỏi 9

Trong mặt phẳng $xz$, đoạn $AB$ nối $A=(0,0,4)$ với $B=(3,0,0)$. Quay $AB$ quanh trục $z$ tạo mặt nón. Phương trình nào mô tả mặt đó? Làm rõ: giới hạn phương trình được chọn bởi $0\le z\le4$, vì đoạn thẳng chỉ quét nên một mặt hữu hạn.

1. $16x^2+16y^2-9z^2+72z-144=0$
2. $4x^2+16y^2+z^2+16-25=0$
3. $3x^2+4y^2-5z^2+25z-1=0$
4. $x^2+y^2-9z^2+25=0$
5. $x^2+y^2+z^2-1=0$

Câu hỏi 10

Câu hỏi 11

Câu hỏi 12

Câu hỏi 13

Câu hỏi 14

Câu hỏi 15

Câu hỏi 16

Câu hỏi 17

Câu hỏi 18

Câu hỏi 19

Câu hỏi 20