AMO 2017 Trung học 2 (Lớp 8)

Tìm tổng các chữ số của tích $2017\times99999$.

Hình cho biết năm dòng đầu của một quy luật về tổng ba số chính phương. Tìm $B+D-A-C$.

Viết $\sqrt{3^6}-\sqrt[3]{3^6}$ dưới dạng số nguyên.

Tính $(9.87)^2+19.74\times0.13+0.0169$.

Các số tự nhiên được xếp thành các hàng, mỗi hàng năm số, như hình. Tổng số thứ tự hàng và số thứ tự cột chứa số 2017 bằng bao nhiêu?



Chú thích bảng: row là hàng, column là cột.

Biết $2016=2^A\times3^B\times7^C$, trong đó $A,B,C$ là các số nguyên dương. Tính $A^B+C$.

Có bao nhiêu tổng khác nhau khi cộng hai số nguyên phân biệt chọn từ $\{-102,-101,-100,\ldots,86,87,88\}$?

Vòng quay được chia thành năm phần bằng nhau. Quay kim một lần. Nếu kim chỉ vào số chính phương thì tung một đồng xu cân đối một lần; nếu chỉ vào số nguyên tố thì không tung xu. Xác suất không tung xu là bao nhiêu? Đồng xu cân đối có xác suất xuất hiện mặt ngửa bằng một nửa. Nếu xác suất viết tối giản là $p/q$, hãy ghi $p+q$.

Tìm hiệu dương giữa tổng tất cả các giá trị nguyên có thể của $x$ và tổng tất cả các giá trị nguyên có thể của $y$ thỏa mãn $x^y=81$. Làm rõ trong bản này: tính mỗi tọa độ một lần cho từng cặp nghiệm nguyên $(x,y)$.

Nếu tích $\frac{98}{100}\times\frac{97}{99}\times\frac{96}{98}\times\cdots\times\frac35\times\frac24\times\frac13$ viết tối giản là $a/b$, hãy tính $a+b-4000$.

Phân số $a/b$ tối giản thỏa mãn $\sqrt{\frac1{49}-\frac1{625}}=\frac ab$. Tìm $a+b$.

Khảo sát 45 học sinh tại Học viện dự bị MOEMS cho thấy 32 em học tiếng Tây Ban Nha và 40 em học Đại số. Ít nhất bao nhiêu em học cả hai môn?



Trong sơ đồ, S là nhóm học tiếng Tây Ban Nha, A là nhóm học Đại số.

Một số trong 12 cạnh của hình lập phương được tô đỏ sao cho mỗi mặt có đúng ba cạnh đỏ. Có bao nhiêu cạnh được tô đỏ?

Có đúng $n$ số lập phương của số tự nhiên nằm giữa $7^6$ và $5^9$. Tìm $n$, không tính hai đầu mút.

Mẫu bìa gồm sáu hình vuông có ghi số như hình được gấp thành hình lập phương. Tích lớn nhất của ba số trên ba mặt cùng gặp nhau tại một đỉnh là bao nhiêu?

Nếu tích của $450$ với số nguyên dương $N$ là một số lập phương, giá trị nhỏ nhất của $N$ là bao nhiêu?

Trong hình chữ nhật $ABCD$, $X$ là trung điểm $AB$ và $Y$ là trung điểm $AD$. Tính diện tích tam giác $XYC$ theo đơn vị xentimét vuông, biết diện tích hình chữ nhật là $880$ xentimét vuông.

Có bao nhiêu số nguyên dương có bốn chữ số khác nhau, đều khác 0, và tổng các chữ số bằng 14?

Hai hình vuông có độ dài cạnh nguyên chồng lên nhau sao cho hai cạnh của hình vuông nhỏ nằm dọc theo hai cạnh hình vuông lớn như hình. Miền tô đậm hình chữ L có diện tích 27 đơn vị vuông. Tìm tổng hai giá trị có thể của cạnh hình vuông nhỏ.

Jethro muốn lát sàn hình chữ nhật $10\text{ cm}\times15\text{ cm}$ bằng các viên gạch hình chữ J như hình. Mỗi viên gồm sáu ô vuông $1\text{ cm}\times1\text{ cm}$, có diện tích $6$ xentimét vuông. Diện tích nhỏ nhất chưa được lát là bao nhiêu xentimét vuông? Không được cắt hoặc xếp chồng gạch.