Bộ SEAMO tự luyện tập năm 2027; không phải đề thi chính thức năm 2027. Giữ nguyên năm của nguồn gốc. 25 câu, 90 phút; câu 1–10: 3 điểm, câu 11–20: 4 điểm, câu 21–25: 6 điểm, tổng 100 điểm. Giữ nguyên dạng trả lời và mọi ý nhỏ. Đã xác minh là quy ước biên soạn; lỗi nguồn, giả thiết cần thiết và điểm chưa chắc chắn về toán học được nêu rõ.
Tìm $a+b$ biết $\frac{x^2}{(x^2+1)(x^2+4)}=\frac a{x^2+1}+\frac b{x^2+4}$.
Hiểu đẳng thức đã cho là đồng nhất thức theo biến thực x, với a và b là hằng số.
Andrew và Bob chơi với năm thẻ ghi các số 1, 2, 3, 4, 5. Andrew xáo các thẻ và đặt úp trên bàn. Mỗi lượt Bob chọn ba thẻ bất kỳ, rồi Andrew nói giá trị của một trong ba thẻ đó. Bob có thể lặp lại tùy ý. Bob cần chọn tối đa bao nhiêu thẻ để chắc chắn biết vị trí của tất cả các thẻ?
“Chắc chắn” nghĩa là bảo đảm với mọi cách Andrew chọn câu trả lời đúng được phép; không giả định Andrew hợp tác hay chọn ngẫu nhiên.
Gán ngẫu nhiên các số 4, 5, 6, …, 11, mỗi số vào một đỉnh của hình lập phương. Xác suất để hai số ở mọi cặp đỉnh kề nhau đều nguyên tố cùng nhau là bao nhiêu?
Biết $f(x_n)=\frac{n+1}{2n+1}$, $n\in\mathbb N$. Khi đó dãy $f(x_n)$:
Các phương án gốc chồng lấn và một thuật ngữ có quy ước chưa rõ. Hãy nêu một phương án đúng bất kỳ hoặc mô tả đúng tính chất của dãy. Câu này chấm thủ công; không yêu cầu chứng minh thêm hay liệt kê đầy đủ phương án.
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho $\lfloor10^n/x\rfloor=98$ có nghiệm nguyên x. Ký hiệu $\lfloor k\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá k.
Trong khai triển $f(x)=(1+ax)^4(1+bx)^5$, với $a,b$ là các số nguyên dương, hệ số của $x^2$ bằng 66. Tính $a+b$.
Cảnh báo về tính nhất quán của nguồn: dữ kiện số đã in và đáp án nguồn mâu thuẫn. Giữ nguyên biểu thức cùng mọi dữ kiện đã in, rồi đánh giá các phương án dựa trên các dữ kiện đó.
