SEAMO 2027 - Paper F - SET 09 - Tự luyện tập

Bộ SEAMO tự luyện tập năm 2027; không phải đề thi chính thức năm 2027. Giữ nguyên năm của nguồn gốc. 25 câu, 90 phút; câu 1–10: 3 điểm, câu 11–20: 4 điểm, câu 21–25: 6 điểm, tổng 100 điểm. Giữ nguyên dạng trả lời và mọi ý nhỏ. Đã xác minh là quy ước biên soạn; lỗi nguồn, giả thiết cần thiết và điểm chưa chắc chắn về toán học được nêu rõ.

Tìm phần nguyên của
$$\frac{1}{\frac1{2015}+\frac1{2016}+\frac1{2017}+\frac1{2018}+\frac1{2019}}.$$

Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$f(x)=\frac8{1+\cos x}+\frac{18}{1-\cos x},$$
với $x$ là số thực bất kỳ để $f(x)$ xác định.

Tìm số nghiệm thực của phương trình $|x^4-4x^2|=4$.

Dãy $(a_n)$ được xác định bởi
$$a_{n+2}=\frac{1+a_{n+1}}{a_n},\qquad a_1=1,\ a_2=2.$$
Tính $a_{2020}$.

Các số thực $a,b$ thỏa mãn
$$\begin{cases}6-5a+4b-3a^2+2ab-b^2=0,\\a-b=1.\end{cases}$$
Tìm tổng tất cả các giá trị có thể của $30a/b$.

Rút gọn
$$\frac3{1!+2!+3!}+\frac4{2!+3!+4!}+\cdots+\frac{2019}{2017!+2018!+2019!}.$$

Cách nhập đáp án: dùng / cho phép chia, ! ngay sau số nguyên cho giai thừa, và - cho phép trừ, không có dấu cách. Chỉ nhận các chuỗi chính xác được liệt kê sẵn; không hỗ trợ rút gọn ký hiệu. Biểu thức tương đương chưa được nhận phải được kiểm tra thủ công, không được coi là sai hay cho 0 điểm chỉ vì chưa được nhận.

Gọi $n$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho chuyển chữ số đầu tiên bên trái ra sau chữ số cuối cùng bên phải tạo thành $n/4$. Tìm số chữ số của $n$.

Tính
$$\frac{1+3+5+\cdots+2013+2015}{2+4+6+\cdots+2014+2016}.$$

Vấn đề phương án nguồn: có hơn một phương án đã in mang giá trị số đúng. Giữ các phương án gốc bên dưới. Hãy chọn một phương án đúng bất kỳ hoặc nêu giá trị; câu này được chấm thủ công. Không bắt buộc giải thích thêm hay liệt kê mọi phương án đúng.

Các phương án gốc (giữ lại để chấm thủ công):

A. $2016/2018$

B. $1004/1005$

C. $1008/1009$

D. $1002/1003$

E. $2015/2017$

Trong tất cả các số có chín chữ số được lập bằng cách dùng mỗi chữ số từ 1 đến 9 đúng một lần, có bao nhiêu phần là các số chia hết cho 36?

Các số nguyên dương $a,b,c$ được chọn ngẫu nhiên có hoàn lại từ $\{1,2,\ldots,2020\}$. Tính xác suất để $abc+ab+2a$ chia hết cho 5.

Cách nhập đáp án: dùng phân số tối giản a/b hoặc số thập phân có dấu chấm, không có dấu cách. Chỉ nhận các dạng chính xác được liệt kê sẵn; dạng tương đương ngoài danh sách cần kiểm tra thủ công, không được coi là sai hay cho 0 điểm chỉ vì chưa được nhận. Không khẳng định có bộ phân tích phân số ký hiệu.

Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất để phương trình
$$\left\lfloor\frac{10^n}{x}\right\rfloor=1989$$
có nghiệm nguyên $x$. Ký hiệu $\lfloor t\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $t$.

Có hữu hạn số nguyên $n$ sao cho $n^{2013}+61$ chia hết cho $n^2+n+1$. Tìm tổng bình phương của tất cả các số nguyên đó.

Như hình vẽ, $AD\parallel BE\parallel FC$. Tìm diện tích tam giác $DEF$ nếu diện tích tam giác $ABC$ bằng 1. Giữ các quan hệ thẳng hàng trong hình: $B,D,C$ thẳng hàng, $E,A,C$ thẳng hàng và $B,A,F$ thẳng hàng.

Hình nguồn gốc, giữ nguyên mọi nhãn và đoạn thẳng toán học.

Tìm số bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn $x\lt y\lt z$ và $x+y+z=203$.

Khi chia 606, 967 và 1404 cho số nguyên dương $q>1$, cả ba phép chia có cùng số dư $r$. Tìm $r$.

Số 25 được viết thành tổng các số nguyên dương $x_1,x_2,\ldots,x_k$, với $k\le25$. Tích $x_1x_2\cdots x_k$ lớn nhất bằng bao nhiêu?

Biết
$$2x=2019^{1/2020}-\frac1{2019^{1/2020}},$$
tính $\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^{-2020}$.

Tìm chữ số khác 0 cuối cùng của $30!$. Ví dụ, $5!=120$ có chữ số khác 0 cuối cùng là 2.

Tìm $n$ biết
$$(1+10)(1+10^2)(1+10^4)\cdots(1+10^{2^n})=1+10+10^2+\cdots+10^{255}.$$

Một dãy có các số hạng chia hết cho 3, mỗi số hạng là một số chính phương trừ 1:
$$3,15,24,48,63,\ldots.$$
Tìm số dư khi chia số hạng thứ 2018 cho 1000.

Quy ước dãy trong bài tự luyện: liệt kê tất cả số nguyên dương thỏa hai tính chất theo thứ tự tăng nghiêm ngặt, không bỏ sót, như các số hạng đầu đã cho.