Bài tập 18. “Hàm phi Euler” $\varphi(n)$ của số nguyên dương $n$ được định nghĩa là số lượng số nguyên dương $m$ nhỏ hơn $n$ sao cho ước chung lớn nhất (HCF) của $m,n$ bằng 1. Ví dụ, $\varphi(12)=4$, vì có 4 số $(1,5,7,11)$ nhỏ hơn 12 sao cho ƯCLN của 12 với mỗi số trong năm số này bằng 1.
Giá trị của $\varphi(51)$ bằng bao nhiêu?
**Quy ước nhập do biên soạn:** Dùng định nghĩa đếm các số nguyên dương nhỏ hơn hẳn 51. Ví dụ trong nguồn có lỗi diễn đạt, được giải thích ở lời giải.
Ví dụ 3. Mã bưu chính gồm 6 chữ số của Gina có các tính chất thú vị sau:
- Đọc từ phải sang trái vẫn được cùng một số.
- Nó là bội của 9.
- Nếu bỏ chữ số đầu và cuối, ước nguyên tố duy nhất của số có 4 chữ số còn lại là 11.
Tìm 3 chữ số đầu của mã bưu chính của Gina.
**Quy ước nhập do biên soạn:** Xét mã là số nguyên có sáu chữ số, phần giữa là số nguyên có bốn chữ số, đều không có chữ số 0 đứng đầu. Chỉ nhập ba chữ số đầu của mã thỏa mọi điều kiện. Lời giải in trong nguồn có lỗi tính toán, được chỉ rõ bên dưới.
Bài tập 22. Biết $\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E=160^\circ$, tìm tổng năm góc tô đậm.
**Quy ước nhập do biên soạn:** Dùng đường biên ngôi sao lõm đơn trong hình. Mỗi góc tô là góc nhỏ ngoài tại chỗ lõm, không phải góc trong phản xạ. Nhập tổng bằng độ.
Bài tập 2. Hình dưới đây là tứ giác $ABCD$ với $\angle BAD=\angle ADC=90^\circ$. Điểm $E$ nằm trên đường chéo $BD$ sao cho $\angle CED=90^\circ$. Biết $AD=48$ cm, $CD=84$ cm và $=CE=72$ cm, tìm độ dài $BD$ bằng centimét.
**Quy ước nhập do biên soạn:** Dấu bằng thừa là lỗi in nguồn: độ dài đã cho là CE = 72 cm, đúng như nhãn hình. Nhập BD bằng centimét, chỉ ghi số.
Bài tập 9. Các số từ 1 đến 2017 được liệt kê theo thứ tự sau: trước hết, các số không chia hết cho 3 được xếp tăng dần. Tiếp theo, các số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho $3^2$ được xếp tăng dần. Sau đó, các số chia hết cho $3^2$ nhưng không chia hết cho $3^3$ được xếp tăng dần, và cứ tiếp tục như vậy. Số cuối cùng trong danh sách là số nào? (Cho cả số, không chỉ chữ số cuối.)
Bài tập 5. Như hình vẽ, phần giao của hai hình chữ nhật $ABCD$ và $EFGH$ cũng là một hình chữ nhật. Diện tích $ABCD$ bằng $174\text{ cm}^2$, diện tích $EFGH$ bằng $52\text{ cm}^2$, $EF=13$ cm và $BC=29$ cm. Diện tích toàn bộ hình bằng bao nhiêu $\text{cm}^2$?
**Quy ước nhập do biên soạn:** Dùng cấu hình cắt trọn trong hình: hai dải hình chữ nhật vuông góc đều kéo dài ra ngoài dải kia ở hai phía phần giao chữ nhật. Nhập diện tích hợp, phần giao chỉ tính một lần.
Ví dụ 10. Trong hình, biết $a\parallel b$ và $c\parallel d$. Tìm giá trị của $x$, $y$ và $z$.
**Quy ước nhập do biên soạn:** Nhập x, rồi y, rồi z, cách nhau dấu chấm phẩy, không có khoảng trắng. Ví dụ định dạng, không phải đáp số: 1;2;3. Ký hiệu độ ngoài cùng bên phải bị cắt một phần ngay trong PDF gốc; bốn góc có nhãn là $110^\circ$, $(2x)^\circ$, $(z+22)^\circ$ và $(3y+20)^\circ$.
Bài tập 4. Hình thang $ABCD$ có $AB\parallel CD$, $BC=CD=43$ và $AD\perp BD$.
Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC,BD$ và $P$ là trung điểm $BD$. Biết $OP=11$, độ dài $AD$ có dạng $m\sqrt n$, trong đó $m,n$ là các số nguyên dương và $n$ không chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m+n$.
**Quy ước nhập do biên soạn:** Dùng hình thang lồi thông thường có các đỉnh A,B,C,D theo thứ tự quanh biên. Nhập số nguyên m+n được hỏi.
