AMC 12A năm 2010

$(20-(2010-201))$ $+(2010-(201-20))?$ là gì

Một chiếc phà đưa đón khách du lịch đến một hòn đảo mỗi giờ bắt đầu lúc $10$ sáng cho đến chuyến cuối cùng, bắt đầu lúc $3$ chiều. Một ngày nọ, thuyền trưởng lưu ý rằng trong chuyến đi $10$ sáng có $100$ khách du lịch trên phà và trong mỗi chuyến đi liên tiếp, số lượng khách du lịch ít hơn $1$ so với chuyến đi trước. Ngày hôm đó phà chở bao nhiêu du khách ra đảo?

Hình chữ nhật $ABCD,$ trong hình bên dưới, chia sẻ $50\%$ của diện tích của nó với hình vuông $EFGH.$ Hình vuông $EFGH$ chia sẻ $20\%$ của diện tích của nó với hình chữ nhật $ABCD.$ $\dfrac{AB}{AD}?$

Nếu $x\lt0,$ thì giá trị nào sau đây phải dương?

Nửa chặng đường của giải đấu bắn cung $100$, Chelsea dẫn đầu với $50$ điểm. Đối với mỗi lần bắn, mắt bò sẽ ghi được $10$ điểm, với các điểm có thể có khác là $8,$ $4,$ $2,$ và $0$ điểm. Chelsea luôn ghi được ít nhất $4$ điểm trong mỗi cú sút. Nếu $n$ cú sút tiếp theo của Chelsea là những cú đánh trúng đích, cô ấy sẽ được đảm bảo chiến thắng. Giá trị tối thiểu cho $n?$ là bao nhiêu

*palindrome*, chẳng hạn như $83438,$ là một số không thay đổi khi các chữ số của nó bị đảo ngược. Các số $x$ và $x + 32$ lần lượt là các bảng màu có ba chữ số và bốn chữ số. Tổng các chữ số của $x?$ là bao nhiêu

Logan đang xây dựng một mô hình thu nhỏ của thị trấn của mình. Tháp nước của thành phố cao $40$ mét và phần trên cùng là một quả cầu chứa $100{,}000$ lít nước. Tháp nước thu nhỏ của Logan chứa $0.1$ lít. Logan nên xây tòa tháp của mình cao bao nhiêu, tính bằng mét?

Tam giác $ABC$ có $AB=2 \cdot AC.$ Đặt $D$ và $E$ lần lượt nằm trên $\overline{AB}$ và $\overline{BC},$ sao cho $\angle BAE = \angle ACD.$ Đặt $F$ là giao điểm của các đoạn $AE$ và $CD,$ và giả sử rằng $\triangle CFE$ là bằng nhau. $\angle ACB?$ là gì

Một hình lập phương đặc có chiều dài cạnh $3$ inch. Một lỗ vuông $2$-inch x $2$-inch được cắt vào giữa mỗi mặt. Các cạnh của mỗi vết cắt song song với các cạnh của khối lập phương và mỗi lỗ đều đi xuyên qua khối lập phương. thể tích, tính bằng inch khối, của chất rắn còn lại là bao nhiêu?

Bốn số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $p,$ $9,$ $3p-q,$ và $3p+q.$ Số hạng thứ $2010$ của dãy này là gì?

Lời giải của phương trình $7^{x+7}=8^x$ có thể được biểu thị dưới dạng $x=\log_b 7^7.$ $b?$ là gì

Trong một đầm lầy ma thuật có hai loài lưỡng cư biết nói: cóc, loài có những câu nói luôn đúng và loài ếch, có những câu nói luôn sai. Bốn động vật lưỡng cư, Brian, Chris, LeRoy và Mike sống cùng nhau trong đầm lầy này và họ đưa ra những tuyên bố sau.

Brian: “Mike và tôi là hai loài khác nhau.”

Chris: “LeRoy là một con ếch.”

LeRoy: “Chris là một con ếch.”

Mike: “Trong số bốn người chúng tôi, ít nhất hai người là cóc.”

Có bao nhiêu trong số bốn loài lưỡng cư này là ếch?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $k$ để đồ thị của $x^2+y^2=k^2$ và $xy=k$ không cắt nhau?

Không suy biến $\triangle ABC$ có độ dài các cạnh nguyên, $\overline{BD}$ là phân giác của một góc, $AD = 3,$ và $DC = 8.$ Giá trị nhỏ nhất có thể có của chu vi là bao nhiêu?

Một đồng xu được thay đổi sao cho xác suất mà nó rơi ra mặt ngửa nhỏ hơn $\dfrac12,$ và khi đồng xu được tung bốn lần, xác suất của số mặt ngửa và mặt ngửa bằng nhau là $\dfrac{1}{6}.$ xác suất mà đồng xu rơi ra mặt ngửa là bao nhiêu?

Bernardo chọn ngẫu nhiên $3$ các số riêng biệt từ tập hợp $$
\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}
$$ và sắp xếp chúng theo thứ tự giảm dần để tạo thành một số có chữ số $3$. Silvia chọn ngẫu nhiên $3$ các số riêng biệt từ tập hợp $$
\{1,2,3,4,5,6,7,8\}
$$ và cũng sắp xếp chúng theo thứ tự giảm dần để tạo thành một số có chữ số $3$. xác suất số của Bernardo lớn hơn số của Silvia là bao nhiêu?

Lục giác đều $ABCDEF$ có độ dài các cạnh $$
AB=CD=EF=1
$$ và $$
BC=DE=FA=r.
$$ diện tích của $\triangle ACE$ là $70\%$ của diện tích của lục giác. Tổng của tất cả các giá trị có thể có của $r?$ là bao nhiêu

Đường dẫn bước $16$ sẽ đi từ $(-4,-4)$ đến $(4,4)$ với mỗi bước tăng tọa độ $x$ hoặc tọa độ $y$ theo $1.$ Có bao nhiêu đường dẫn như vậy nằm bên ngoài hoặc trên ranh giới của hình vuông $-2\le x\le2,$ $-2\le y\le2$ ở mỗi bước?

Mỗi hộp $2010$ trong một hàng chứa một viên bi màu đỏ và đối với $1 \le k \le 2010,$ hộp ở vị trí thứ $k$cũng chứa $k$ viên bi trắng. Isabella bắt đầu từ hộp đầu tiên và lần lượt rút ngẫu nhiên một viên bi từ mỗi hộp theo thứ tự. Cô ấy dừng lại khi lần đầu tiên vẽ một viên bi màu đỏ. Đặt $P(n)$ là xác suất mà Isabella dừng lại sau khi vẽ chính xác $n$ viên bi. Giá trị nhỏ nhất của $n$ mà $P(n) \lt \dfrac{1}{2010}?$ là bao nhiêu

Chuỗi số học $(a_n)$ và $(b_n)$ có số nguyên với $a_1=b_1=1\lt a_2\le b_2$ và $a_nb_n=2010$ đối với một số $n.$ Giá trị lớn nhất có thể có của $n?$ là bao nhiêu?