IMSO 2009 Toán - Quốc tế - Khám phá

Tìm càng nhiều càng tốt các số có năm chữ số, dùng mỗi chữ số 1,2,3,4,5 đúng một lần. Chữ số đầu và cuối không là 1 hoặc 5; chữ số thứ hai không là 2; thứ ba không là 3; thứ tư không là 4.

Cho C nằm ngoài đường thẳng l. Ba điểm phân biệt X,Y,Z trên l tạo ba tam giác CXY,CXZ,CYZ. Có nhiều nhất bao nhiêu tam giác gồm C và hai điểm trên l nếu trên l có (a) 5, (b) 10, (c) 51 điểm phân biệt?

Muchlis làm năm việc khác nhau A,B,C,D,E, mỗi ngày một việc trong năm ngày liên tiếp. Mỗi người Ali, Benny, Charlie, Dennis, Ethan giúp đúng một việc.

- Việc A được làm sau ngày Ali giúp một ngày.
- Việc B được làm sau ngày Benny giúp ba ngày.
- Ngày 4 làm C hoặc D.
- Charlie giúp A, D hoặc E.
- Người giúp E là Dennis hoặc Benny.

Hoàn thành bảng ngày–việc–người giúp cho các ngày 1 đến 5.

Một lượt chọn hai hộp rồi chia đều bi của hai hộp, dùng số viên nguyên. Không chọn được hai hộp có tổng lẻ. Trò chơi kết thúc khi không còn lượt nào làm thay đổi phân bố. (Các ví dụ nguồn buộc phải loại lượt không thay đổi giữa hai hộp bằng nhau.)

Ví dụ: ban đầu A–F có 10,11,12,14,19,24, lần lượt gộp B,E; A,C; D,F; A,D; C,F. Các trạng thái được cho dưới đây.

Bây giờ A–H có 4,5,6,8,9,31,32,35. Hãy kết thúc với ít lượt nhất; ghi cặp hộp và số bi trong cả tám hộp sau mỗi lượt.

Trong $1\star2\star3\star4\star5\star6\star7\star8\star9\star10$, thay mỗi dấu sao bằng + hoặc − để được 25. Tìm càng nhiều cách khác nhau càng tốt. Ví dụ: $1-2-3-4+5-6+7+8+9+10=25$.

Một hình hộp chữ nhật có kích thước 2 × 1 × 1 đơn vị. Hình dưới cho một lưới triển khai mẫu. Trên một tờ giấy ô vuông đơn vị 12 × 15, hãy vẽ càng nhiều lưới càng tốt. Dùng màu để phân biệt các lưới.