AMC 12 năm 1991

Nếu với ba số riêng biệt bất kỳ $a,$ $b,$ và $c$ chúng ta xác định $$
\boxed{a,b,c}=\frac{c+a}{c-b},
$$ thì $\boxed{1,-2,-3}=$

$|3-\pi|=$

$\left(4^{-1}-3^{-1}\right)^{-1}=$

Tam giác nào sau đây không thể tồn tại?

Trong đa giác hình mũi tên được hiển thị, các góc tại các đỉnh $A,$ $C,$ $D,$ $E,$ và $F$ là các góc vuông, $BC=FG=5,$ $CD=FE=20,$ $DE=10,$ và $AB=AG.$ diện tích của đa giác gần nhất với

Nếu $x\ge0,$ thì $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}=$

Nếu $x=\frac{a}{b},$ $a\ne b,$ và $b\ne0,$ thì $\dfrac{a+b}{a-b}=$

Chất lỏng $X$ không hòa lẫn với nước. Trừ khi bị cản trở, nó sẽ trải rộng trên mặt nước tạo thành một màng tròn dày $0.1$ cm. Một hộp hình chữ nhật có kích thước $6$ cm x $3$ cm x $12$ cm chứa đầy chất lỏng $X.$ Chất chứa trong hộp được đổ lên một khối nước lớn. Bán kính tính bằng cm của màng tròn thu được sẽ là bao nhiêu?

Từ thời điểm $t=0$ đến thời điểm $t=1$ dân số tăng thêm $i\%,$ và từ thời điểm $t=1$ đến thời điểm $t=2$ dân số tăng thêm $j\%.$ Do đó, từ thời điểm $t=0$ đến thời điểm $t=2$ dân số tăng thêm

Điểm $P$ cách $9$ đơn vị tính từ tâm của đường tròn bán kính $15.$ Có bao nhiêu dây cung khác nhau của đường tròn chứa $P$ và có độ dài nguyên?

Jack và Jill chạy $10$ km. Họ xuất phát tại cùng một điểm, chạy $5$ km lên đồi và quay trở lại điểm xuất phát bằng cùng một tuyến đường. Jack có thời gian xuất phát trước $10$ phút và chạy với tốc độ $15$ km/giờ lên dốc và $20$ km/giờ xuống dốc. Jill chạy $16$ km/giờ lên dốc và $22$ km/giờ xuống dốc. Họ cách đỉnh đồi bao xa khi đi theo hai hướng ngược nhau?

Số đo (tính bằng độ) của các góc trong của hình lục giác lồi tạo thành cấp số cộng gồm các số nguyên dương. Gọi $m^\circ$ là số đo góc trong lớn nhất của hình lục giác. Giá trị lớn nhất có thể có của $m^\circ$ là

Ngựa $X,$ $Y,$ và $Z$ được tham gia vào một cuộc đua ba ngựa trong đó không thể hòa. Nếu tỷ lệ thắng $X$ là $3$-to-$1$ và tỷ lệ thắng $Y$ là $2$-to-$3,$ tỷ lệ thắng $Z$ là bao nhiêu? (Bằng “tỷ lệ thắng $H$ là $p$-to-$q$” chúng tôi trung bình cộng rằng xác suất của $H$ chiến thắng cuộc đua là $\frac{q}{p+q}.$)

Nếu $x$ là lập phương của một số nguyên dương và $d$ là số số nguyên dương là ước của $x,$ thì $d$ có thể là

Một chiếc bàn tròn có chính xác $60$ ghế xung quanh nó. Có $N$ người ngồi ở bàn này theo cách mà người ngồi tiếp theo phải ngồi cạnh ai đó. Giá trị nhỏ nhất có thể có của $N$ là

Một trăm học sinh tại Trường Trung học Century đã tham gia AHSME vào năm ngoái và điểm trung bình cộng của họ là $100.$ Số học sinh không phải học sinh cuối cấp tham gia AHSME là $50\%$ nhiều hơn số học sinh cuối cấp và điểm trung bình cộng của học sinh cuối cấp là $50\%$ cao hơn điểm của học sinh không phải học sinh cuối cấp. Điểm trung bình cộng của học sinh cuối cấp là bao nhiêu?

Một số nguyên dương $N$ là một palindrome nếu số nguyên thu được bằng cách đảo ngược dãy chữ số của $N$ bằng $N.$ Năm $1991$ là năm duy nhất trong thế kỷ hiện tại có hai thuộc tính sau:

(a) Nó là một bảng màu.

(b) Nó phân tích thành tích của một palindrome nguyên tố có chữ số $2$ và một palindrome nguyên tố có chữ số $3$.

Có bao nhiêu năm trong thiên niên kỷ giữa $1000$ và $2000$ (kể cả năm $1991$) có tính chất (a) và (b)?

Nếu $S$ là tập hợp các điểm $z$ trong mặt phẳng phức sao cho $(3+4i)z$ là số thực thì $S$ là một

Tam giác $ABC$ có góc vuông tại $C,$ $AC=3,$ và $BC=4.$ Tam giác $ABD$ có góc vuông tại $A$ và $AD=12.$ Điểm $C$ và $D$ bật các cạnh đối diện của $AB.$ Đường thẳng đi qua $D$ song song với $AC$ gặp $CB$ kéo dài tại $E.$ Nếu $$
\frac{DE}{DB}=\frac mn,
$$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố, thì $m+n=$

Tổng của tất cả $x$ thực sao cho $$
\begin{aligned} &(2^x-4)^3+(4^x-2)^3\\ &\qquad=(4^x+2^x-6)^3 \end{aligned}
$$ là