AMC 12 năm 1987

$(1+x^2)(1-x^3)$ bằng

Như thể hiện trong hình, một góc tam giác có độ dài các cạnh $DB=EB=1$ được cắt từ tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh $3.$ chu vi của tứ giác còn lại $ADEC$ là

Có bao nhiêu số nguyên tố nhỏ hơn $100$ có $7$ là chữ số hàng đơn vị? (Giả sử biểu diễn cơ sở $10$ thông thường.)

$$
\frac{2^1+2^0+2^{-1}}{2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}}
$$ bằng

Một học sinh đã ghi lại phân bổ tần số phần trăm chính xác cho một tập hợp các phép đo như minh họa bên dưới. Tuy nhiên, học sinh đã sơ ý chỉ ra $N,$ tổng số phép đo. Giá trị nhỏ nhất có thể có của $N?$ giá trị đo được phần trăm tần số $0$ $12.5$ $1$ $0$ $2$ $50$ $3$ $25$ $4$ $12.5$ $100$

Trong $\triangle ABC$ được hiển thị, $D$ là một số điểm bên trong và $x,$ $y,$ $z,$ $w$ là số đo các góc theo độ. Giải $x$ theo $y,$ $z,$ và $w.$

Nếu $a-1=b+2=c-3=d+4,$ đại lượng nào trong bốn đại lượng $a,$ $b,$ $c,$ $d$ là lớn nhất?

Trong hình, tổng khoảng cách $AD$ và $BD$ là

Bốn số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $a,$ $x,$ $b,$ $2x.$ Tỷ lệ của $a$ so với $b$ là

Có bao nhiêu bộ ba có thứ tự $(a,b,c)$ của các số thực khác 0 có tính chất là mỗi số là tích của hai số còn lại?

Đặt $c$ là một hằng số. Các phương trình đồng thời $$
\begin{aligned} x-y&=2,\\ cx+y&=3. \end{aligned}
$$ có nghiệm $(x,y)$ bên trong Góc phần tư I khi và chỉ khi

Trong một văn phòng, vào nhiều thời điểm khác nhau trong ngày, ông chủ giao cho thư ký một lá thư để đánh máy, mỗi lần như vậy, lá thư sẽ được đặt lên trên chồng thư trong hộp thư của thư ký. Khi có thời gian, người thư ký lấy chữ cái trên cùng ra khỏi chồng và đánh máy. Nếu có tất cả năm chữ cái và ông chủ giao chúng theo thứ tự $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ thì điều nào sau đây không thể là thứ tự mà thư ký gõ chúng?

Một mảnh giấy dài $5$ cm được tạo thành cuộn để đựng máy tính tiền bằng cách quấn $600$ lần quanh một ống bìa cứng có đường kính $2$ cm, tạo thành một cuộn có đường kính $10$ cm. Ước tính chiều dài của tờ giấy tính bằng mét. (Giả sử tờ giấy có dạng $600$ vòng tròn đồng tâm với đường kính cách đều nhau từ $2$ cm đến $10$ cm.)

$ABCD$ là hình vuông và $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $CD,$. Sau đó $\sin\theta=$

Nếu $(x,y)$ là giải pháp cho hệ thống $$
\begin{aligned} xy&=6,\\ x^2y+xy^2+x+y&=63, \end{aligned}
$$ hãy tìm $x^2+y^2.$

Một nhà mật mã học nghĩ ra phương pháp sau để mã hóa các số nguyên dương. Đầu tiên, số nguyên được biểu thị trong cơ sở $5.$ Thứ hai, sự tương ứng $1$-to-$1$ được thiết lập giữa các chữ số xuất hiện trong các biểu thức trong cơ sở $5$ và các phần tử của tập hợp $\{V,W,X,Y,Z\}.$ Sử dụng sự tương ứng này, nhà mật mã học nhận thấy rằng ba số nguyên liên tiếp theo thứ tự tăng dần được mã hóa là $VYZ,$ $VYX,$ $VVW,$ tương ứng. Biểu thức base-$10$ cho số nguyên được mã hóa là $XYZ?$

Trong một cuộc thi toán, tổng điểm của Bill và Dick bằng tổng điểm của Ann và Carol. Nếu điểm của Bill và Carol được hoán đổi cho nhau thì tổng điểm của Ann và Carol sẽ lớn hơn tổng điểm của hai người còn lại. Ngoài ra, điểm của Dick vượt quá tổng điểm của Bill và Carol. Xác định thứ tự bốn thí sinh về đích từ cao nhất đến thấp nhất. Giả sử tất cả các điểm đều không âm.

Phải mất $A$ sách đại số (tất cả cùng độ dày) và $H$ sách hình học (tất cả đều có cùng độ dày, lớn hơn độ dày của một cuốn sách đại số) để lấp đầy một kệ nhất định. Ngoài ra, $S$ của sách đại số và $M$ của sách hình học sẽ lấp đầy cùng một kệ. Cuối cùng, chỉ riêng $E$ trong số sách đại số sẽ lấp đầy kệ này. Cho rằng $A,$ $H,$ $S,$ $M,$ $E$ là các số nguyên dương phân biệt, suy ra rằng $E$ là

Điều nào sau đây gần nhất với $\sqrt{65}-\sqrt{63}?$

Đánh giá $$
\begin{aligned} &\log_{10}(\tan1^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan2^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan3^\circ)+\cdots\\ &\quad+\log_{10}(\tan88^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan89^\circ). \end{aligned}
$$