AMC 12 năm 1986

$[x-(y-x)]-[(x-y)-x]=$

Nếu đường thẳng $L$ trong mặt phẳng $xy$ có một nửa độ dốc và hai lần giao điểm $y$ của đường $y=\frac23x+4,$ thì phương trình cho $L$ là

Trong hình, $\triangle ABC$ có góc vuông tại $C$ và $\angle A=20^\circ.$ Nếu $BD$ là phân giác của $\angle ABC,$ thì $\angle BDC=$

Đặt $S$ là câu lệnh

“Nếu tổng các chữ số của toàn bộ số $n$ là chia hết cho $6,$ thì $n$ là chia hết cho $6.$”

Giá trị của $n$ hiển thị $S$ là sai là

Rút gọn $\left(\sqrt[6]{27}-\sqrt{6\frac34}\right)^2.$

Sử dụng một chiếc bàn có chiều cao nhất định, hai khối gỗ giống hệt nhau được đặt như trong Hình $1.$ Chiều dài $r$ được tìm thấy là $32$ inch. Sau khi sắp xếp lại các khối như trong Hình $2,$ chiều dài $s$ được tìm thấy là $28$ inch. Bàn cao bao nhiêu?

Tổng của số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $x$ và số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng $x$ là $5.$ Bộ nghiệm cho $x$ là

Dân số Hoa Kỳ ở $1980$ là $226{,}504{,}825.$ diện tích của đất nước là $3{,}615{,}122$ dặm vuông. Có $(5280)^2$ feet vuông trong một dặm vuông. Con số nào dưới đây gần đúng nhất với số mét vuông trung bình của mỗi người?

Tích $$
\begin{aligned} &\left(1-\frac1{2^2}\right) \left(1-\frac1{3^2}\right)\\ &\quad{}\cdots \left(1-\frac1{9^2}\right) \left(1-\frac1{10^2}\right) \end{aligned}
$$ bằng

Các hoán vị $120$ của AHSME được sắp xếp theo thứ tự từ điển, như thể mỗi hoán vị là một từ có năm chữ cái thông thường. Chữ cái cuối cùng của từ thứ $86$ trong danh sách này là

Trong $\triangle ABC,$ $AB=13,$ $BC=14$ và $CA=15.$ Ngoài ra, $M$ là trung điểm của cạnh $AB$ và $H$ là chân đường cao từ $A$ đến $BC.$ Độ dài của $HM$ là

John đạt điểm $93$ trong kỳ thi AHSME năm nay. Nếu hệ thống tính điểm cũ vẫn còn hiệu lực, anh ấy sẽ chỉ chấm $84$ cho những câu trả lời tương tự. Có bao nhiêu câu hỏi anh ấy chưa trả lời? (Trong hệ thống tính điểm mới năm đó, một người nhận được $5$ điểm cho mỗi câu trả lời đúng, $0$ điểm cho mỗi câu trả lời sai và $2$ điểm cho mỗi câu hỏi chưa được trả lời. Trong hệ thống tính điểm trước đó, một người bắt đầu với $30$ điểm, nhận thêm $4$ cho mỗi câu trả lời đúng, sẽ bị thua $1$ điểm cho mỗi câu trả lời sai và không được tăng hay mất điểm cho các câu hỏi chưa được trả lời. Có $30$ câu hỏi trong $1986$ AHSME.)

Một parabol $y=ax^2+bx+c$ có đỉnh $(4,2).$ Nếu $(2,0)$ nằm trên parabol thì $abc$ bằng

Giả sử bước nhảy, bước nhảy và bước nhảy là những đơn vị độ dài cụ thể. Nếu $b$ số bước nhảy bằng $c$ bỏ qua, $d$ số lần nhảy bằng $e$ số bước nhảy và $f$ số lần nhảy bằng $g$ mét thì một mét bằng bao nhiêu lần bỏ qua?

Một học sinh đã cố gắng tính giá trị trung bình, $A,$ của $x,$ $y$ và $z$ bằng cách tính giá trị trung bình của $x$ và $y,$ rồi tính giá trị trung bình của kết quả và $z.$ Bất cứ khi nào $x\lt y\lt z,$ kết quả cuối cùng của học sinh là

Trong $\triangle ABC,$ $AB=8,$ $BC=7,$ $CA=6$ và cạnh $BC$ được mở rộng, như trong hình, đến một điểm $P$ sao cho $\triangle PAB$ là đồng dạng thành $\triangle PCA.$ Độ dài của $PC$ là

Một ngăn kéo trong phòng tối chứa $100$ tất đỏ, $80$ tất xanh, $60$ tất xanh và $40$ tất đen. Một trẻ chọn từng chiếc tất trong ngăn kéo nhưng không nhìn thấy màu của những chiếc tất được rút ra. Số tất nhỏ nhất phải được chọn là bao nhiêu để đảm bảo rằng lựa chọn đó chứa các cặp ít nhất $10$? (Một đôi tất là hai chiếc tất cùng màu. Không chiếc tất nào được tính nhiều hơn một đôi.)

Một mặt phẳng cắt một hình trụ tròn bên phải có bán kính $1$ tạo thành một hình elip. Nếu trục chính của hình elip dài hơn $50\%$ so với trục nhỏ thì độ dài của trục chính là

Một công viên có hình lục giác đều $2$ km một cạnh. Bắt đầu từ một góc cua, Alice đi dọc theo chu vi của công viên với khoảng cách $5$ km. Hỏi cô ấy cách điểm xuất phát bao nhiêu km?

Giả sử $x$ và $y$ tỷ lệ nghịch và dương. Nếu $x$ tăng thêm $p\%,$ thì $y$ giảm đi