AMC 12 năm 1975

Giá trị của $$
\frac{1}{2-\dfrac{1}{2-\dfrac{1}{2-\frac12}}}
$$ là

Với giá trị thực nào của $m$ là các phương trình đồng thời $$
\begin{aligned} y&=mx+3,\\ y&=(2m-1)x+4 \end{aligned}
$$ được thỏa mãn bởi ít nhất một cặp số thực $(x,y)?$

Bất đẳng thức nào sau đây thỏa mãn mọi số thực $a,$ $b,$ $c,$ $x,$ $y,$ $z$ thỏa mãn $x\lt a,$ $y\lt b,$ và $z\lt c?$

I. $xy+yz+zx\lt ab+bc+ca$

II. $x^2+y^2+z^2\lt a^2+b^2+c^2$

III. $xyz\lt abc$

Nếu cạnh của một hình vuông là đường chéo của hình vuông thứ hai thì tỷ lệ của diện tích của hình vuông thứ nhất với diện tích của hình vuông thứ hai là bao nhiêu?

Đa thức $(x+y)^9$ được mở rộng theo lũy thừa giảm dần của $x.$ Thuật ngữ thứ hai và thứ ba có giá trị bằng nhau khi được đánh giá tại $x=p$ và $y=q,$ trong đó $p$ và $q$ là các số dương có tổng bằng một. Giá trị của $p?$ là bao nhiêu

Tổng của 80 số nguyên dương lẻ đầu tiên trừ đi tổng của 80 số nguyên dương chẵn đầu tiên là

Với số thực khác 0 $x$ nào là $\frac{|x-|x||}{x}$ là số nguyên dương?

Nếu tuyên bố “Tất cả áo sơ mi trong cửa hàng này đều đang giảm giá.” sai thì khẳng định nào sau đây phải đúng?

I. Tất cả áo sơ mi trong cửa hàng này đều có giá chưa bán.

II. Có một số áo sơ mi trong cửa hàng này không được bán.

III. Không có áo sơ mi trong cửa hàng này được bán.

IV. Không phải tất cả áo sơ mi trong cửa hàng này đều được giảm giá.

*Lưu ý: Ban đầu tôi đã đọc tuyên bố: Tất cả áo sơ mi trong cửa hàng này đều không được giảm giá.*

Đặt $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ và $b_1,$ $b_2,$ $\ldots$ là các cấp số học sao cho $a_1=25,$ $b_1=75,$ và $a_{100}+b_{100}=100.$ Tìm tổng của một trăm số hạng đầu tiên của cấp số $a_1+b_1,$ $a_2+b_2,$ $\ldots.$

Tổng các chữ số trong cơ số mười của $\left(10^{4n^2+8}+1\right)^2,$ trong đó $n$ là số nguyên dương, là

Giả sử $P$ là một điểm bên trong của đường tròn $K$ khác với tâm của $K.$ tạo thành tất cả các dây của $K$ đi qua $P,$ và xác định trung điểm của chúng. Tọa độ các trung điểm này là

Nếu $a\ne b,$ $a^3-b^3=19x^3,$ và $a-b=x,$ kết luận nào sau đây là đúng?

Phương trình $x^6-3x^5-6x^3-x+8=0$ có

Nếu whatsis là như vậy khi whosis là và so và so là $\cdot$ vậy, whosis là gì $\cdot$ whatsis là gì khi whosis là như vậy, so và so là như vậy $\cdot$ vậy, và is là hai (whatsis, whosis, is và so là các biến nhận giá trị dương)?

Trong dãy số $1,$ $3,$ $2,$ $\ldots,$ mỗi số hạng sau hai số hạng đầu tiên bằng số hạng đứng trước nó trừ đi số hạng đứng trước số hạng đó. Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy là

Nếu số hạng đầu tiên của chuỗi hình học vô hạn là số nguyên dương, tỉ số chung là nghịch đảo của số nguyên dương và tổng của chuỗi là $3,$ thì tổng của hai số hạng đầu tiên của chuỗi là

Một người đàn ông có thể đi lại bằng tàu hỏa hoặc xe buýt. Nếu buổi sáng anh ấy đi làm bằng tàu thì buổi chiều anh ấy sẽ về nhà bằng xe buýt; và nếu anh ấy đi tàu về nhà vào buổi chiều thì buổi sáng anh ấy bắt xe buýt. Trong tổng số $x$ ngày làm việc, người đàn ông bắt xe buýt đi làm vào buổi sáng $8$ lần, về nhà bằng xe buýt vào buổi chiều $15$ lần và đi làm bằng tàu hỏa (sáng hoặc chiều) $9$ lần. Tìm $x.$

Một số nguyên dương $N$ có ba chữ số trong biểu diễn cơ số mười của nó được chọn ngẫu nhiên, với mỗi số có ba chữ số có cơ hội được chọn như nhau. xác suất mà $\log_2N$ là số nguyên là

Những số dương nào $x$ thỏa mãn phương trình $(\log_3x)(\log_x5)=\log_35?$

Trong tam giác hình liền kề $ABC$ sao cho $AB=4$ và $AC=8.$ Nếu $M$ là trung điểm của $BC$ và $AM=3,$ thì độ dài của $BC?$ là bao nhiêu