AMC 12 năm 1967

Số có ba chữ số $2a3$ được cộng vào số $326$ để có số có ba chữ số $5b9.$ Nếu $5b9$ là chia hết cho $9,$ thì $a+b$ bằng:

Tương đương với biểu thức

$$
\begin{aligned} &\left(\frac{x^2+1}{x}\right) \left(\frac{y^2+1}{y}\right)\\ &\quad+ \left(\frac{x^2-1}{y}\right) \left(\frac{y^2-1}{x}\right),\\ &\qquad xy\ne0, \end{aligned}
$$

là:

Cạnh của tam giác đều là $s.$ Một hình tròn nội tiếp trong hình tam giác và một hình vuông nội tiếp trong hình tròn. diện tích của hình vuông là:

Cho $\dfrac{\log a}{p}=\dfrac{\log b}{q}=\dfrac{\log c}{r}=\log x,$ tất cả logarit có cùng cơ số và $x\ne1.$ Nếu $\dfrac{b^2}{ac}=x^y,$ thì $y$ là:

Một hình tam giác được bao quanh một đường tròn có bán kính $r$ inch. Nếu chu vi của tam giác là $P$ inch và diện tích là $K$ inch vuông thì $\frac{P}{K}$ là:

Nếu $f(x)=4^x,$ thì $f(x+1)-f(x)$ bằng:

Nếu $\dfrac ab\lt-\dfrac cd,$ trong đó $a,$ $b,$ $c,$ $d$ là số thực và $bd\ne0,$ thì:

Để $m$ ounce dung dịch axit $m\%$, $x$ ounce nước được thêm vào để tạo ra dung dịch $(m-10)\%$. Nếu $m\gt25,$ thì $x$ là:

Đặt $K,$ trong đơn vị vuông, là diện tích của hình thang sao cho đáy ngắn hơn, đường cao và đáy dài hơn, theo thứ tự đó, theo cấp số cộng. Sau đó:

Nếu

$$
\begin{aligned} &\frac{a}{10^x-1}+\frac{b}{10^x+2}\\ &\qquad=\frac{2\cdot10^x+3} {(10^x-1)(10^x+2)} \end{aligned}
$$

là một danh tính cho các giá trị hữu tỉ dương của $x,$ thì giá trị của $a-b$ là:

Nếu chu vi của hình chữ nhật $ABCD$ là $20$ inch thì giá trị nhỏ nhất của đường chéo $AC,$ tính bằng inch là:

Nếu (lồi) diện tích được giới hạn bởi trục $x$ và các đường $y=mx+4,$ $x=1,$ và $x=4$ là $7,$ thì $m$ bằng:

Một tam giác $ABC$ được dựng với cạnh $a$ (góc đối diện $A$), góc $B,$ và $h_c,$ đường cao từ $C.$ Nếu $N$ là số nghiệm không đồng dạng thì $N$

Đặt $f(t)=\dfrac{t}{1-t},$ $t\ne1.$ Nếu $y=f(x),$ thì $x$ có thể được biểu thị dưới dạng:

Sự khác biệt về diện tích của hai tam giác đồng dạng là $18$ feet vuông và tỷ lệ giữa diện tích lớn hơn và nhỏ hơn là bình phương của một số nguyên. diện tích của tam giác nhỏ hơn, tính bằng feet vuông, là một số nguyên và một trong các cạnh của nó là $3$ feet. Cạnh tương ứng của tam giác lớn hơn, tính bằng feet, là:

Đặt tích $(12)(15)(16),$ mỗi thừa số được viết trong cơ số $b,$ bằng $3146$ trong cơ số $b.$ Đặt $s=12+15+16,$ mỗi số hạng được biểu thị trong cơ số $b.$ Sau đó $s,$ trong cơ số $b,$ là:

Nếu $r_1$ và $r_2$ là nghiệm thực riêng biệt của $x^2+px+8=0,$ thì nó phải tuân theo:

Nếu $x^2-5x+6\lt0$ và $P=x^2+5x+6,$ thì

diện tích của hình chữ nhật không thay đổi khi nó được làm dài hơn $2\dfrac12$ inch và hẹp hơn $\dfrac23$ inch hoặc khi nó được làm ngắn hơn $2\dfrac12$ inch và rộng hơn $\dfrac43$ inch. diện tích của nó, tính bằng inch vuông, là:

Một hình tròn được nội tiếp trong một hình vuông có cạnh $m,$ sau đó một hình vuông nội tiếp trong hình tròn đó, sau đó một hình tròn nội tiếp trong hình vuông sau, v.v. Nếu $S_n$ là tổng diện tích của các hình tròn $n$ đầu tiên nội tiếp như vậy, thì khi $n$ phát triển vượt quá mọi giới hạn, $S_n$ sẽ tiến tới: