VMO 1986 — Bảng A

Cho $n$ bất phương trình
$$4x^2-4a_ix+(a_i-1)^2\le0,$$
ở đó $a_i\in[\frac12,5]$ với mọi $i=1,2,\ldots,n$. Gọi $x_i$ là nghiệm bất kì của bất phương trình ứng với tham số $a_i$. Chứng minh rằng
$$\frac{\sum_{k=1}^n x_k^2}{n}\le\frac{\sum_{k=1}^n x_k}{n}+1.$$

Gọi $R,r$ là bán kính các hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp $1986$ đều.
(a) Chứng minh rằng $\displaystyle\frac Rr\ge1+\frac1{\cos(\pi/1986)}$.
(b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp có cạnh đáy bằng $a$ khi ở bất đẳng thức trên xảy ra dấu bằng.

Cho $M(y)$ là một đa thức bậc $n$ sao cho $M(y)=2^y$, với $y=1,2,\ldots,n+1$. Hãy xác định $M(n+2)$.

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $2a$. Trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông đi qua $AB$ ta dựng một tam giác đều $AMB$. Một điểm $S$ chạy trên $AB$ cách $B$ một khoảng $SB=x$. Gọi $P$ là hình chiếu của điểm $M$ lên đường thẳng $SC$ và $E,O$ theo thứ tự là các trung điểm của $AB,CM$.
(a) Hãy xác định quỹ tích của $P$ khi $S$ chạy trên $AB$.
(b) Tính các giá trị cực đại và cực tiểu của $SO$.

Tìm các giá trị tự nhiên $n\gt 1$ để cho bất đẳng thức
$$\sum_{k=1}^n x_k^2\ge x_n\sum_{k=1}^{n-1}x_k$$
đúng với mọi $x_k$, $k=1,\ldots,n$.

Từ dãy số tự nhiên $1,2,3,\ldots$, ta lập dãy số sau đây: số hạng thứ nhất là số lẻ, cụ thể là số $1$; hai số hạng tiếp theo là các số chẵn $2$ và $4$; ba số hạng tiếp theo là các số lẻ $5,7,9$; bốn số hạng tiếp theo là các số chẵn $10,12,14,16$; năm số hạng tiếp theo là các số lẻ $17,19,21,23,25$, $\ldots$. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy trên.