VMO 1985 — Bảng A

Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình
$$x^3-y^3=2xy+8.$$

Gọi $M$ là tập hợp tất cả các hàm số $f$ xác định với mọi số nguyên nhận những giá trị thực thỏa mãn các tính chất sau đây:
(a) Với mọi số nguyên $x$ và $y$ thì $f(x)\cdot f(y)=f(x+y)+f(x-y)$.
(b) $f(0)\ne0$.
Tìm tất cả các hàm số $f\in M$ sao cho $f(1)=5/2$.

Một hình hộp chữ nhật với các kích thước $a,b,c$ bị cắt bởi một mặt phẳng đi qua giao điểm các đường chéo của hình hộp và vuông góc với một trong các đường chéo của hình hộp đó. Hãy tính diện tích của thiết diện nhận được.

Kí hiệu ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên $a$ và $b$ là $\gcd(a,b)$. Chứng minh rằng với ba số tự nhiên $a,b$ và $m$, điều kiện cần và đủ để tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $(a^n-1)\cdot b$ chia hết cho $m$ là
$$\gcd(ab,m)=\gcd(b,m).$$

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $a$ để phương trình
$$16x^4-ax^3+(2a+17)x^2-ax+16=0$$
có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân.

Một hình chóp tam giác $O.ABC$ có diện tích đáy là $ABC$ bằng $S$. Tính thể tích của hình chóp biết rằng mỗi đường cao theo thứ tự hạ từ các điểm $A,B,C$ không thể bé hơn trung bình cộng của hai cạnh bên thuộc bề mặt đối diện với các đỉnh đó.