VMO 1982 — Bảng A

Lập phương trình bậc hai có hệ số nguyên và có hai nghiệm là $\cos72^\circ$ và $\cos144^\circ$.

Giải và biện luận theo $m$ phương trình
$$x(x+1)(x+2)(x+3)-m+1=0.$$

Cho tam giác $ABC$. Trên ba cạnh của nó dựng ba tam giác đều ra phía ngoài tam giác đó. Gọi $\Delta$ là tam giác có các đỉnh là tâm của ba tam giác đều nói trên. Tương tự trên các cạnh của tam giác $ABC$ dựng ba tam giác đều về phía trong với tam giác đó và gọi $\Delta'$ là tam giác có ba đỉnh là ba tâm của ba tam giác vừa dựng. Chứng minh rằng diện tích của tam giác $ABC$ bằng hiệu của diện tích hai tam giác $\Delta$ và $\Delta'$.

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
$$2^x+2^y+2^z=2336$$
với $x\lt y\lt z$.

Cho $p$ là số nguyên dương và hai số thực $q,z$. Giả sử rằng $q^{p+1}\le z\le1$ và $0\le q\le1$. Hãy chứng minh rằng
$$\prod_{k=1}^p\left|\frac{z-q^k}{z+q^k}\right|\le\prod_{k=1}^p\frac{1-q^k}{1+q^k}.$$

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh rằng không một đường thẳng nào cắt cả bốn đường thẳng $AA'$, $BC$, $D'C'$ và đường nối trung điểm hai cạnh $BB'$ và $DD'$.