VMO 1968 — Bảng A

Cho hai số $a,b$ thoả mãn điều kiện $a\ge b\gt 0$, và $a+b=1$.

(a) Chứng minh rằng nếu $m,n$ là các số nguyên dương thoả mãn $m\gt n$ thì $a^m-a^n\ge b^m-b^n\gt 0$.

(b) Với mỗi số nguyên dương $n$ người ta thiết lập tam thức bậc hai
$$f_n(x)=x^2-b^nx-a^n.$$
Chứng minh rằng tam thức $f_n(x)$ có hai nghiệm số phân biệt nằm giữa $-1$ và $1$.

Lưu ý biên tập: Giữ nguyên nội dung toán của các khẳng định trong nguồn. Đề có sai sót; xem phần phân tích trong lời giải.

Cho một đường tròn cố định $O$ bán kính $r$. Một tam giác biến thiên $\triangle ABC$ luôn ngoại tiếp đường tròn đó và có đỉnh $A$ chạy trên đường thẳng cố định $x$, còn hai đỉnh kia chạy trên một đường thẳng cố định $y$ song song với $x$.

(a) Cho trước đường tròn $O$, hai đường thẳng $x,y$ và góc $A$ hãy dựng tam giác $\triangle ABC$. Biện luận.

(b) Tính các góc của tam giác $\triangle ABC$ theo góc $A$, bán kính $r$ và khoảng cách $h$ giữa hai đường thẳng $x,y$. Biện luận.

(c) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa hai đoạn thẳng $IB$ và $IC$ ($I$ là tiếp điểm của đường tròn $O$ với đường thẳng $y$)? Có cách gì để đoán nhận ra mối quan hệ đó mà chưa cần chứng minh gì cả? Chứng minh điều đoán nhận đó.

Từ hệ thức giữa $IB$ và $IC$ hãy cố gắng phát hiện ra những hệ thức đáng chú ý khác (phát hiện được càng nhiều càng tốt).