HKIMO 2026 Khối 10-11-12 Vòng quốc gia (Heat) Đề 05

Một hộp có $2015$ quả bóng, mỗi quả màu đỏ, xanh lá, xanh dương, vàng hoặc đen. Lấy bất kỳ $1800$ quả luôn có đủ năm màu. Ít nhất phải lấy bao nhiêu quả để chắc chắn có ít nhất ba màu?

Quy ước làm bài của bản biên soạn: Lấy không hoàn lại; tìm mức bảo đảm trong trường hợp xấu nhất theo dữ kiện.

Theo quy luật của dãy, tìm số tiếp theo: $1024,0,512,256,384,320,352,\ldots$.

Quy ước làm bài của bản biên soạn: Tiếp tục bằng cách nhân mỗi hiệu liên tiếp với −1/2, tương đương lấy trung bình cộng hai số hạng trước.

Hai số nguyên tố $x,y$ thỏa $x^2-y^3=1$. Tính $x+y$.

Sáu đội $A,B,C,D,E,F$ thi đấu trong năm ngày. Mỗi đội đấu một trận mỗi ngày và mỗi cặp đội gặp nhau đúng một lần. Ngày 1, $A$ thắng $B$; ngày 2, $D$ thắng $C$; ngày 3, $E$ thắng $A$; ngày 4, $B$ thắng $C$. Ngày 5, $E$ gặp đội nào?

Bảy người nói về hôm nay. A: Hôm qua là Thứ Tư. B: Ngày mai không phải Thứ Ba. C: Ngày mai là Thứ Tư. D: Hôm nay là Thứ Ba hoặc hôm qua là Thứ Ba. E: Hôm nay là Thứ Ba. F: Hôm nay không phải Thứ Hai, Thứ Ba hay Chủ Nhật. G: Hôm nay không phải Thứ Ba hay Thứ Bảy. Có đúng ba phát biểu đúng. Hôm nay là thứ mấy?

Viết $(\sqrt3/2+i/2)^{2015}$ dưới dạng $a+bi$.

Phương trình $x^4-x^3+ax^2+bx+3=0$, với $a,b$ là hằng số, có nghiệm kép $1$. Có bao nhiêu nghiệm có phần ảo khác $0$?

Tính $\displaystyle\sum_{k=2}^{1000}\frac1{k^2-1}$.

Tìm số dư khi chia $x^{2015}-20x-15$ cho $x^2-1$.

Phân tích $x^2-3xy+2y^2+x-4y-6$ thành nhân tử.

Các số thực dương $a,b,c$ thỏa $a^2+b^2+c^2\le24$. Tìm giá trị lớn nhất của $a^{2/3}+b^{2/3}+c^{2/3}$.

Với số thực $-3\le x\le3$, tìm giá trị lớn nhất của $x+\sqrt{9-x^2}$.

Cho $\log 2=0.301$, tính $\displaystyle\log\left(\sum_{n=0}^{2015}\binom{2015}{n}\right)$, làm tròn đến hai chữ số thập phân.

Quy ước làm bài của bản biên soạn: Dùng giá trị gần đúng đã cho và làm tròn thông thường: gặp chữ số 5 thì tăng lên.

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $x$ thỏa $8x\equiv9\pmod{17}$ và $3x\equiv5\pmod7$.

Cả $a$ và $\sqrt{23-8\sqrt7}+a\sqrt{23+8\sqrt7}$ đều là số hữu tỉ. Tìm $a$.

Hai tiếp tuyến của đường tròn $x^2+y^2=1$ đi qua $P=(3,4)$. Tính tổng hệ số góc của chúng.

Trong tam giác nhọn $ABC$, hai đường cao $AD$ và $BE$ cắt nhau tại $H$. Nối $D$ với $E$. Có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng?

Ba cạnh tam giác thỏa $0\le a\le6\le b\le8\le c\le12$. Khi diện tích lớn nhất, tính chu vi.

Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm $(5,-10)$ đến đường thẳng $4y=3x$.

Trong hình, $TA$ và $DC$ tiếp xúc với đường tròn tại $A$ và $C$. Các điểm $T,B,C$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Biết $\angle ATB=50^\circ$ và $\angle BCD=75^\circ$, tính $\angle ABC$ theo độ.