HKIMO 2020 Khối 10-11-12 Vòng quốc gia (Heat) Đề 01

$n$ đường thẳng chia hình tròn thành 361 miền. Tìm $n$ nhỏ nhất.

Túi chứa $n$ bóng của mỗi màu trong năm màu xanh dương, vàng, đỏ, xanh lá, tím. Sau khi lấy 87 bóng, mọi bóng còn lại đều đỏ. Tìm hiệu giữa $n$ lớn nhất và nhỏ nhất.

Có bao nhiêu nghiệm nguyên thỏa $6\lt (5+x^2)/8\lt 9$?

Có 234 bóng. Peter và Mary luân phiên lấy từ 5 đến 12 bóng. Người lấy bóng cuối cùng thắng; Peter đi trước. Peter cần thêm ít nhất bao nhiêu bóng trước khi chơi để bảo đảm lấy được bóng cuối?

Hộp có 30 tất đỏ, 38 tất trắng, 25 tất xanh. Cần lấy ít nhất bao nhiêu chiếc để chắc chắn có ba đôi không trắng và thêm một đôi không xanh?

Tìm hệ số của $x^2$ trong $(x^2+3x-2)^4$.

Phân tích $x^4+x^3-13x^2-x+12$ thành nhân tử.

Cho phân số liên tục lặp $\displaystyle x=3-\frac{24}{3+\frac2{3-\frac{24}{3+\cdots}}}$, tìm giá trị nhỏ nhất của nó.

Giải $\log_3(x^{\log_3 36})-\log_3(4^{\log_3 x})=8$.

Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất để $(3k+2)x^2+(k-2)x-1=0$ có nghiệm thực.

Tìm số nguyên dương $x$ nhỏ nhất thỏa $3x\equiv4\pmod5$ và $7x\equiv6\pmod{13}$.

Tìm số dư khi chia $37^{30}$ cho 17.

Tìm hai chữ số cuối của $A=4+9+14+\cdots+(4+5\cdot98)+(4+5\cdot99)$.

Biết $x\gt 0$ và $x=32\sqrt{4\sqrt{32\sqrt{4\sqrt{\cdots}}}}$, tìm $x$.

Biết $k^2+(n-782)k-3135=0$ và $n=1+3+5+\cdots+k$, tìm $k$.

Trong tam giác vuông $ABC$, $\angle B=90^\circ$, $\angle C=15^\circ$. Điểm $D$ thuộc $BC$ và $AD=CD$. Biết $\cos15^\circ=a\sqrt b+c\sqrt d$ với $a,b,c,d\gt 0$, tìm $a+b+c+d$.

$x$ là góc nhọn và $\cos x=24/25$. Tính $(\sin x-\tan x)/\sin^2x$.

Góc trong của đa giác đều $n$ cạnh bằng $(15n+15)^\circ$. Tìm $n$ lớn nhất.

Tam giác có các cạnh 24, 12, 22. Diện tích bằng $\sqrt{a\times b\times c\times d}$, trong đó $a\ne b\ne c\ne d\ne1$. Tìm $a+b+c+d$.

Tính diện tích miền giới hạn bởi trục $Ox$ và hai đường $x=5y-8$, $y=x+4$.