Câu hỏi 1
Giả sử phương trình $\dfrac{x^2}{2}+mx+n=0$ có các nghiệm $\dfrac m2$, $\dfrac n3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $mn$.
SMO 2022 - Senior - Vòng 1
Câu hỏi 2
Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu hỏi 3
Giả sử $\sqrt{(\log_{377\times377}2022)(\log_{377}2022)}=\log_k2022$. Tìm $k$.
(A) $\sqrt{337}$
(B) $337^{\sqrt2}$
(C) $337\sqrt2$
(D) $(\sqrt{337})^{\sqrt2}$
(E) $\sqrt{337\times2}$
(A) $\sqrt{337}$
(B) $337^{\sqrt2}$
(C) $337\sqrt2$
(D) $(\sqrt{337})^{\sqrt2}$
(E) $\sqrt{337\times2}$
Câu hỏi 4
Giả sử $y=\cos^2x-7\cos x+25$, với $x$ là số thực bất kì. Tìm tập giá trị của $y$.
Câu hỏi 5
Giả sử $\sin(180^\circ+x)=-\dfrac79$, với $450^\circ\lt x\lt 540^\circ$. Tính $\sin(2x)$.
Câu hỏi 6
Tính $$\left(\frac{\cos10^\circ+\cos50^\circ+\cos70^\circ+\cos110^\circ}{\cos20^\circ}\right)^8.$$
Câu hỏi 7
Giả sử $x^{20}+\dfrac{x^{10}}2-\dfrac{3^{2x}}9+\dfrac1{16}=0$ với một số thực dương $x$. Tính $4\cdot3^x-12x^{10}$.
Câu hỏi 8
Có bao nhiêu số nguyên dương không vượt quá $2022$ không thể biểu diễn thành $$\lfloor2x+1\rfloor+\lfloor5x+1\rfloor$$ với một số thực $x$? Ở đây, $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $x$. Chẳng hạn $\lfloor-2{,}1\rfloor=-3$, $\lfloor3{,}9\rfloor=3$.
Câu hỏi 9
Giả sử $$y=\frac{\tan^2x-\tan x+\sqrt{33}}{\tan^2x+\tan x+1},$$ với $-90^\circ\lt x\lt 90^\circ$. Tìm giá trị lớn nhất của $\sqrt{33}(y-5)$.
Câu hỏi 10
Trong hình dưới, $PQRS$ là hình vuông nội tiếp một đường tròn. Điểm $W$ nằm trên cung $PQ$ sao cho $WS=\sqrt{20}$. Tính $(WP+WR)^2$.
Câu hỏi 11
Hình dưới biểu diễn tứ giác $ABCD$ có $AC=BD$; $P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AD,BC$. Các đường $PQ,AC$ gặp nhau tại $R$, còn $BD,AC$ gặp nhau tại $S$. Nếu $\angle PRC=130^\circ$, tính $\angle DSC$ (theo độ).
Câu hỏi 12
Khai triển đại số rồi thu gọn $(x^2+y^2)^{11}(x^{11}+y^{11})^9$ được bao nhiêu hạng tử phân biệt?
Câu hỏi 13
Nếu $\sqrt{x^2+7x-4}+\sqrt{x^2-x+4}=x-1$, tìm giá trị của $3x^2+14x$.
Câu hỏi 14
Cho $k=-1+\sqrt{2022^{1/5}-1}$ và $f(x)=(k^2+2k+2)^{10x}$. Tính $\log_{2022}f(2022)$.
Câu hỏi 15
Tìm số nguyên lẻ nhỏ nhất $N\gt 2022$ sao cho khi chia $1808$, $2022$ và $N$ cho một số nguyên dương $p\gt 1$, cả ba đều có cùng số dư.
Câu hỏi 16
Nếu $\dfrac{12}{x}+\dfrac{48}{y}=1$, với $x,y$ là các số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của $x+y$.
Câu hỏi 17
Tìm giá trị lớn nhất của $40x+60y$ nếu $x-y\le2$, $5x+y\ge5$ và $5x+3y\le15$.
Câu hỏi 18
Giả sử
$$\cos x-\cos y=\frac12,\qquad\sin x-\sin y=-\frac13.$$
Nếu $\sin(x+y)=\dfrac mn$, với $\dfrac mn$ là phân số tối giản, tính $m+n$.
$$\cos x-\cos y=\frac12,\qquad\sin x-\sin y=-\frac13.$$
Nếu $\sin(x+y)=\dfrac mn$, với $\dfrac mn$ là phân số tối giản, tính $m+n$.
Câu hỏi 19
Với một số nguyên dương $n$, số $n^3-3n^2+3n$ có chữ số hàng đơn vị là $6$. Tìm tích hai chữ số cuối của $7(n-1)^{12}+1$.
Câu hỏi 20
Tìm số nguyên dương lớn nhất $n$ sao cho $\dfrac{20n+2020}{3n-6}$ là số nguyên dương.