SMO 2021 - Junior - Vòng 1

Câu hỏi 1

Cho hai số thực $a,b$ thỏa $a\lt 0\lt b$. Khẳng định nào sau đây không đúng?

$a^2b>0$
$ab^2\lt 0$
$\frac ab>0$
$b-a>0$
$|a-b|>0$

Hình sau biểu diễn một hệ cân treo từ trần với ba loại quả cân. Mỗi đòn cân nghiêng xuống về phía nặng hơn. Nếu dùng $\square\lt \triangle$ để biểu thị $\square$ nhẹ hơn $\triangle$, khẳng định nào sau đây đúng?

Hình minh họa câu hỏi

$\square\lt \circ\lt \triangle$
$\square\lt \triangle\lt \circ$
$\triangle\lt \square\lt \circ$
$\triangle\lt \circ\lt \square$
$\circ\lt \square\lt \triangle$

Câu hỏi 3

Cho $x=2^{20}\cdot3^5$, $y=2^5\cdot5^{10}$ và $z=7^{10}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

$x>y>z$
$x>z>y$
$y>z>x$
$y>x>z$
$z>x>y$

Câu hỏi 4

Trong hình, sáu đường tròn tiếp xúc với nhau như được vẽ. Nếu bán kính đường tròn lớn nhất bằng $1$ và bốn đường tròn cỡ trung có bán kính bằng nhau, bán kính đường tròn nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Hình minh họa câu hỏi

$\sqrt2-1$
$3-2\sqrt2$
$2-\sqrt2$
$6-4\sqrt2$
Không có phương án nào ở trên

Câu hỏi 5

Phương án nào sau đây gần nhất với giá trị của $$\frac1{\sqrt2+1}+\frac1{\sqrt3+\sqrt2}+\frac1{\sqrt4+\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt{2021}+\sqrt{2020}}\ ?$$

Câu hỏi 6

Cho $x$ là số nguyên dương. Biết bội chung nhỏ nhất của $x$ và $14$ bằng $42$, còn bội chung nhỏ nhất của $x$ và $33$ bằng $66$. Tìm $x$.

Câu hỏi 7

Bốn chữ số cuối của tổng $$1+22+333+4444+\cdots+\underbrace{999999999}$$ là gì? Số hạng cuối gồm chín chữ số $9$. Hãy cho đáp án dưới dạng số có 4 chữ số.

Câu hỏi 8

Có bao nhiêu bộ ba phân biệt gồm các số nguyên dương $(a,b,c)$ thỏa $1\le a\le b\le c$ và $$\frac1a+\frac1b+\frac1c=1\ ?$$

Câu hỏi 9

Cho năm số nguyên dương liên tiếp. Nếu tích số lớn nhất và số nhỏ nhất bằng $2021$, tổng năm số bằng bao nhiêu?

Câu hỏi 10

Các số từ $1$ đến $2021$ được ghép từ trái sang phải và đọc thành số nguyên $$12345678910111213\cdots201920202021.$$ Số dư khi chia số này cho $6$ bằng bao nhiêu?

Câu hỏi 11

Trong hình dưới, mỗi chữ cái khác nhau biểu thị một chữ số khác nhau sao cho phép tính đúng. Nếu S biểu thị $6$ và E biểu thị $8$, SIX biểu thị số nào?
$$\begin{array}{rrrrrr}&S&E&V&E&N\\&S&E&V&E&N\\+&&&S&I&X\\\hline T&W&E&N&T&Y\end{array}$$

Hình minh họa câu hỏi

Câu hỏi 12

Giá trị của $$\sqrt{(219)(220)(221)(222)+1}$$ bằng bao nhiêu?

Câu hỏi 13

Cho các ẩn $A,B,\ldots,I$ thỏa
$$\begin{aligned}A+B+C&=1,\\B+C+D&=2,\\C+D+E&=3,\\D+E+F&=4,\\E+F+G&=5,\\F+G+H&=6,\\G+H+I&=7.\end{aligned}$$
Giá trị của $A+E+I$ bằng bao nhiêu?

Câu hỏi 14

Nếu $x$ là số có 3 chữ số, định nghĩa $M(x)$ và $m(x)$ lần lượt là số dương lớn nhất và nhỏ nhất có thể tạo ra bằng cách sắp xếp lại ba chữ số của $x$. Ví dụ, nếu $x=123$ thì $M(123)=321$, $m(123)=123$. Nếu $y=898$ thì $M(898)=988$, $m(898)=889$.

Biết $z$ là số có 3 chữ số thỏa $z=M(z)-m(z)$, tìm $z$.

Câu hỏi 15

Có bao nhiêu số nguyên $k$ sao cho phương trình bậc hai $$kx^2+20x+20-k=0$$ chỉ có nghiệm nguyên?

Câu hỏi 16

Trong hình sau, tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Nếu $|AB|=|BC|=6$, $|AD|=14$ và $CD$ là đường kính, độ dài $|CD|$ bằng bao nhiêu?

Hình minh họa câu hỏi

Câu hỏi 17

Hình dưới biểu diễn một tấm bìa hình tam giác đều cạnh $36$ cm. Sáu đường cắt vuông góc dài $2\sqrt3$ cm được thực hiện để bỏ các góc, rồi gấp tấm bìa thành một khay có đáy là tam giác đều và chiều cao $2\sqrt3$ cm. Thể tích của khay bằng bao nhiêu cm$^3$?

Hình minh họa câu hỏi