Một hình vuông được chia thành một số hình chữ nhật, không hình nào là hình vuông, sao cho các cạnh của mỗi hình chữ nhật song song với các cạnh hình vuông. Với mỗi hình chữ nhật có hai kích thước $a,b$, $a<b$, tính tỉ số $a/b$. Chứng minh tổng các tỉ số này không nhỏ hơn $1$.
Cho $n$ là số nguyên dương và $a_1,a_2,\ldots,a_{2n}$ là $2n$ số nguyên phân biệt. Biết phương trình $$|x-a_1||x-a_2|\cdots|x-a_{2n}|=(n!)^2$$ có nghiệm nguyên $x=m$. Hãy biểu diễn $m$ theo $a_1,\ldots,a_{2n}$.
Xét một đa giác có $m+n$ cạnh, trong đó $m,n$ là các số nguyên dương. Tô đỏ $m$ đỉnh và tô xanh $n$ đỉnh còn lại. Gán cho mỗi cạnh số $2$ nếu cả hai đầu mút đỏ, số $1/2$ nếu cả hai đầu mút xanh, và số $1$ trong các trường hợp khác. Gọi tích các số này là $P$. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $P$.
Cho $a,b,c$ là các số nguyên khác $0$, có ước chung dương duy nhất là $1$, và thỏa mãn $\frac1a+\frac1b+\frac1c=0$. Tìm số bộ ba $(a,b,c)$ như vậy thỏa $50\ge|a|\ge|b|\ge|c|\ge1$.