SMO 2011 - Senior - Vòng 2

Trong tam giác $ABC$, đường cao kẻ từ $A$, đường phân giác của $\angle B$ và đường trung tuyến kẻ từ $C$ đồng quy. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ đều.

Xác định xem có tồn tại một tập $S$ gồm $2011$ số nguyên dương sao cho với mọi cặp phần tử phân biệt $m,n$ của $S$, ta có $|m-n|=(m,n)$ hay không. Ở đây $(m,n)$ ký hiệu ước chung lớn nhất của $m$ và $n$.

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $$\cos\frac\pi n\cos\frac{2\pi}n\cos\frac{3\pi}n=\frac1{n+1}.$$

Cho $n$ và $k$ là các số nguyên dương với $n\ge k\ge2$. Với $i=1,\ldots,n$, gọi $S_i$ là một tập không rỗng gồm các số nguyên liên tiếp, sao cho trong bất kỳ $k$ tập nào cũng có hai tập có giao khác rỗng. Chứng minh rằng tồn tại một tập $X$ gồm $k-1$ số nguyên sao cho mỗi $S_i$, với $i=1,\ldots,n$, chứa ít nhất một số nguyên thuộc $X$.

Cho $x_1,x_2,\ldots,x_n>0$, $n\ge5$. Chứng minh rằng
$$\frac{x_1x_2}{x_1^2+x_2^2+2x_3x_4}+\frac{x_2x_3}{x_2^2+x_3^2+2x_4x_5}+\cdots+
\frac{x_nx_1}{x_n^2+x_1^2+2x_2x_3}\le\frac{n-1}{2}.$$