SMO 2008 - Senior - Vòng 1

Câu hỏi 1

Tính $\dfrac{1+3+5+7+\cdots+99}{2+4+6+8+\cdots+100}$.

$48/49$
$49/50$
$50/51$
$98/99$
$100/101$

Câu hỏi 2

Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn đồng thời $3x-2y=4-p$, $4x-3y=2+p$ và $x\gt y$. Tìm các giá trị có thể của $p$.

$p\gt -1$
$p\lt 1$
$p\lt -1$
$p\gt 1$
$p$ có thể là số thực bất kỳ.

Câu hỏi 3

Cho $f(x)=x^2+\sqrt{1-x^2}$ với $-1\le x\le1$. Tìm tập giá trị của $f(x)$.

$\frac12\le f(x)\le1$
$1\le f(x)\le\frac54$
$1\le f(x)\le\frac{1+2\sqrt3}{4}$
$\frac{\sqrt3}{2}\le f(x)\le1$
$\frac12\le f(x)\le\frac{\sqrt3}{2}$

Câu hỏi 4

Cho $a,b$ là các số nguyên và $\sqrt{7-4\sqrt3}$ là một nghiệm của $x^2+ax+b=0$. Tính $a+b$.

$-3$
$-2$
$0$
$2$
$3$

Câu hỏi 5

Một túi có 30 quả bóng đánh số 1, 2, ..., 30. Chọn ngẫu nhiên hai quả bóng. Tính xác suất để tổng hai số chia hết cho 3.

$1/2$
$1/3$
$7/29$
$9/29$
$11/87$

Câu hỏi 6

$ABCD$ là hình vuông có $AB=a$; $AEFG$ là hình chữ nhật sao cho $E$ nằm trên cạnh $BC$ và $D$ nằm trên cạnh $FG$. Nếu $AE=b$, độ dài $EF$ bằng bao nhiêu?

Hình minh họa câu hỏi

$b/a$
$3a^2/(2b)$
$4a^2/(3b)$
$\sqrt2a^2/b$
$a^2/b$

Câu hỏi 7

Tính $\sin^4\frac\pi8+\sin^4\frac{3\pi}8+\sin^4\frac{5\pi}8+\sin^4\frac{7\pi}8$.

$1$
$3/2$
$7/4$
$2$
$5/2$

Câu hỏi 8

Một đường tròn bán kính $x$ cm nội tiếp tam giác $ABC$, trong đó $\angle ACB$ là góc vuông. Nếu $AB=9$ cm và diện tích tam giác $ABC$ bằng $36\text{ cm}^2$, hãy tìm $x$.

Hình minh họa câu hỏi

$2.2$
$2.6$
$3$
$3.4$
$3.8$

Câu hỏi 9

Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ sao cho $7n+1$ là số chính phương và $3n+1\lt 2008$?

$6$
$9$
$12$
$15$
$18$

Câu hỏi 10

Tìm giá trị nhỏ nhất của $(a+b)\left(\frac1a+\frac4b\right)$ với $a,b$ là các số thực dương.

$3$
$6$
$9$
$12$
$18$

Câu hỏi 11

Tìm số nguyên nhỏ nhất $n$ sao cho $n(\sqrt{101}-10)\gt 1$.

Câu hỏi 12

Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $(x+y)^2=2500$ và $xy=500$. Tính chính xác $x^3+y^3$.

Câu hỏi 13

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $N$ sao cho $2^n\gt n^2$ với mọi số nguyên $n\in\{N,N+1,N+2,N+3,N+4\}$.

Câu hỏi 14

Độ dài các cạnh của một tứ giác là 2006 cm, 2007 cm, 2008 cm và x cm. Nếu x là số nguyên, tìm giá trị lớn nhất có thể của x.

Câu hỏi 15

Tìm số số nguyên dương $x$ thỏa mãn $\left|3+\log_x\frac13\right|\lt \frac83$.

Hai viên đạn được đặt vào hai buồng liên tiếp của ổ quay sáu buồng. Ổ quay được quay ngẫu nhiên, rồi lần bóp cò đầu tiên không có đạn. Gọi $p$ là xác suất lần thứ hai cũng không có đạn nếu quay lại ổ sau lần đầu; gọi $q$ là xác suất lần thứ hai cũng không có đạn nếu không quay lại ổ sau lần đầu. Tìm số nguyên nhỏ nhất $N$ sao cho $N\ge100p/q$.