SMO 2008 - Open - Vòng 2

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(n,k)$ sao cho $(n+1)^k-1=n!$.

Trong tam giác nhọn $ABC$, $M$ là điểm nằm trong đoạn $AC$, còn $N$ nằm trên phần kéo dài của đoạn $AC$ sao cho $MN=AC$. Gọi $D,E$ lần lượt là chân các đường vuông góc từ $M,N$ đến các đường thẳng $BC,AB$. Chứng minh trực tâm của tam giác $ABC$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $BED$.

Điều kiện bổ sung do biên tập: hình nguồn đặt $N$ ở phía ngoài $C$. Ngay cả khi hiểu như vậy, các giả thiết vẫn có thể cho $E=B$, làm đường tròn được nêu không xác định. Đề gốc được giữ nguyên; lời giải dưới đây giả sử $N$ ở phía ngoài $C$ và $B,E,D$ phân biệt. Câu này cần được duyệt.

Cho $n,m$ là các số nguyên dương, $m\gt n\ge5$, trong đó $m$ phụ thuộc vào $n$. Xét dãy $a_1,a_2,\ldots,a_m$ với
$$a_i=i\quad(1\le i\le n),$$
$$a_{n+j}=a_{3j}+a_{3j-1}+a_{3j-2}\quad(1\le j\le m-n),$$
và $m-3(m-n)=1$ hoặc $2$, tức là
$$a_m=a_{m-k}+a_{m-k-1}+a_{m-k-2},$$
trong đó $k=1$ hoặc $2$. Như vậy, nếu $n=5$, dãy là $1,2,3,4,5,6,15$; nếu $n=8$, dãy là $1,2,3,4,5,6,7,8,6,15,21$. Tính $S=a_1+a_2+\cdots+a_m$ khi (i) $n=2007$ và (ii) $n=2008$.

Cho $0\lt a,b\lt \pi/2$. Chứng minh
$$\frac5{\cos^2a}+\frac5{\sin^2a\sin^2b\cos^2b}\ge27\cos a+36\sin a.$$

Xét một bàn cờ $2008\times2008$. Gọi $M$ là số hình chữ nhật ít nhất có thể vẽ trên bàn cờ sao cho các cạnh của mọi ô đều được phủ bởi các cạnh của các hình chữ nhật đã vẽ. Tìm $M$. Ví dụ, với bàn cờ $2\times3$ thì $M=3$.